Розрахунково-графічна робота 2 страница

,

де , - власна вага І і ІІ ділянок відповідно, - власна вага відсіченої частини ІІІ ділянки.

Звідки

.

Відповідний аналітичний вираз для має вигляд

.

Числові значення і на границях ділянок наступні:

при м кН;

МПа;

при м кН

МПа.

3. Побудова епюр і .

По отриманим числовим значенням і для перерізів на границях кожної ділянки будуємо їх епюри з урахуванням прийнятого правила знаків (Рис. 9 б,в). Епюри будуються в зручному, з точки зору наочності, масштабі з обов’язковим вказанням на них числових значень ординат в характерних перерізах стержня.

Після побудови епюр слід зробити їх перевірку. На епюрі стрибок в перерізі, в якому прикладене зовнішнє навантаження, повинен бути рівним величині цього навантаження. Стрибки на епюрі повинні співпадати з точкою прикладення зовнішнього навантаження і зміни розмірів поперечного перерізу по ділянках стержня.

4. Визначення переміщення нижнього кінця стержня.

Дане переміщення згідно закону Гука може бути визначене за формулою

,

де - абсолютне подовження кожної з трьох ділянок стержня.

Визначимо послідовно подовження всіх трьох ділянок.

м;

Тоді повне переміщення нижнього кінця стержня дорівнює

м м.

Рис. 8

Рис. 9

Приклад 2. КРУЧЕННЯ ВАЛА

Дано: Схема – рис. 10 а; м; Н·м; МПа; МПа.

Рішення:

1. Знаходження значення невідомого момента X.

Використовуємо метод перерізів. Розбиваємо вал на ділянки, межами яких є перерізи, в яких прикладені зовнішні моменти (в даному випадку чотири ділянки). Потім на кожній ділянці проводимо переріз, відкидаємо, в даному випадку, ліву частину валу і розглядаємо рівновагу правої частини (рис. 10 а).

Крутний момент в довільному перерізі вала чисельно дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх моментів, які діють відносно геометричної осі вала по один бік від розглядуваного перерізу.

З урахуванням прийнятого правила знаків (крутний момент в перерізі вважається позитивним, якщо при спостеріганні з боку зовнішньої нормалі до перерізу, він намагається обернути переріз за годинниковою стрілкою) запишемо вирази крутних моментів для кожної з чотирьох ділянок:

;

;

;

.

Для вала постійного поперечного перерізу кут закручування на ділянці довжиною , на якій діє сталий крутний момент визначається з виразу

,

де полярний момент інерції поперечного перерізу вала.

З урахуванням виразів для крутних моментів на кожній ділянці визначимо відповідні кути закручування:

;

;

;

.

Рис. 10

За умовою кут повороту правого кінцевого перерізу вала, який, очевидно, дорівнює сумі кутів закручування кожної ділянки, дорівнює нулю. Звідси отримуємо рівняння для знаходження невідомого момента :

.

Розв’язуючи це рівняння, знаходимо

Н·м.

2. Побудова епюри крутних моментів.

Обчислимо значення крутних моментів для кожної з ділянок вала, використовуючи вирази для та знайдене значення невідомого момента з п.1.:

Н·м;

Н·м;

Н·м;

Н·м.

За отриманими значеннями будуємо епюру крутних моментів для вала (рис. 6 б).

3. Визначення діаметра вала.

Умова міцності при крученні має вигляд:

,

де полярний момент опору поперечного перерізу вала.

Для суцільного круглого вала . Після підстановки даного виразу в умову міцності діаметр вала визначається з останньої як

м мм.

Приймемо найближче більше рекомендоване значення діаметра вала мм.

4. Побудова епюри кутів закручування.

Для суцільного круглого вала полярний момент інерції визначається за формулою .

При діаметрі вала мм полярний момент інерції складає

мм⁴ .

Оскільки кут закручування на кожній ділянці змінюється по лінійному закону, то для побудови епюри кутів закручування достатньо знати їх числові значення для граничних перерізів ділянок вала.

Визначимо послідовно ці значення (в радіанах) для всіх чотирьох ділянок вала, починаючи з лівого нерухомого кінця, для якого кут закручування дорівнює нулю.

;

;

;

.

За отриманими значеннями будуємо епюру кутів закручування для даного вала (рис. 10 в). Максимальний кут закручування має граничний переріз між другою i третьою ділянками.

5. Визначення найбільшого відносного кута закручування.

Найбільший відносний кут закручування визначається з виразу

.

Як видно з епюри крутних моментів найбільші і рівні за модулем 1500Н·м крутні моменти діють на першій та четвертій ділянках.

Отже найбільший відносний кут закручування в радіанах на метр довжини вала

м^-1.

Та ж величина в градусах складатиме

на метр довжини

Приклад 3. ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ СКЛАДЕНОГО ПОПЕРЕЧНОГО ПЕРЕРІЗУ

Дано: Поперечний переріз (рис. 11), що складається з швелера №12 і рівнобокого кутика 70х70х8.

Рис. 11

Рішення:

1. Геометричні характеристики складових частин перерізу.

Виписуємо з таблиць сортаменту геометричні характеристики складових частин перерізу:

Частина 1 – Швелер №12: площа - А₁=12,3 см²; положення центру ваги –

y _c1=6 cм, z _c1=1,54 см; осьові моменти інерції – I _z1=304,0 см⁴, I _y1=31,2 см⁴.

Частина 2 – Кутик рівнобокий 70х70х8: площа А₂=10,67 см²; положення центру ваги - y _c2=z _c2=2,02 см; осьові моменти інерції – I_z2=I _y2=48,16 см⁴; відцентровий момент інерції - I _z2y2=28,2 см⁴.

2. Визначення положення центру ваги складеного перерізу.

Розташуємо початок випадкової системи координатних осей в нижній кутовій точці швелера так, щоб вісь z проходила горизонтально вздовж нижніх полок швелера і кутика, а вісь y вертикально вздовж стінки швелера та вертикальної полки кутика (рис. 12). В цій системі координат центри ваги частин перерізу мають координати: y₁=6,0 см, z₁=1,54 см, y₂=2,02 см, z₂=-2,02 см.

Координати центру ваги складеного перерізу визначаються з виразів

; .

Після підстановки вихідних даних, отримаємо

см, см.

Рис. 12

3. Визначення осьових та відцентрового моментів інерції відносно випадкових центральних осей.

Через центр ваги перерізу С проводимо центральні осі z_C і y_C, паралельні проведеним раніше осям z і y та центральним осям , швелера і , кутика.

В системі центральних осей z_C, y_C координати центрів ваги швелера і кутика складають:

z_C1=0,114+1,54=1,654 см;

y_C1=6,0-4,151=1,849 см

z_C2=-2,02+0,114=-1,906 см

y_C2=2,02-4,151=-2,131 см

Осьові і відцентровий моменти інерції складеного перерізу в системі випадкових центральних осей z_C, y_C визначаються за формулами:

;

.

Після підстановки відповідних числових даних отримаємо

см⁴;

см⁴;

см⁴.

4.Визначення напряму головних центральних осей.

Кут нахилу головної центральної осі відносно випадкової центральної осі z_C визначається за формулою:

.

Підставляючи отримані вище числові значення моментів інерції, знаходимо

.

Звідки ;

Величина цього кута в градусах складе

Кут <0, тому його слід відкласти від осі z_C за годинниковою стрілкою. Оскільки , то промінь, що проходить через центр ваги перерізу С під знайденим кутом визначить положення осі u, відносно якої центральний момент інерції перерізу буде максимальним. Вісь v, відносно якої момент інерції перерізу буде мінімальним проведемо через центр ваги перерізу С під кутом 90° до осі u.

5.Знаходження моментів інерції перерізу відносно головних центральних осей.

Моменти інерції перерізу відносно головних центральних осей визначаються за формулами:

;

.

Підставляючи числові значення моментів інерції відносно осей z_C, y_C отримуємо

см⁴;

см⁴.

Перевірка. Повинні задовольнятись умови: і .

В даному випадку

;

;

.

Приклад 4. ЗГИН КОНСОЛЬНОЇ БАЛКИ

Дано: Схема рис. 13 а; l₁=5 м; а₁=1 м; а₂=2 м; а₃=3 м; Р=5 кН; M=2 кН·м;

q=6 кН/м; .

Потрібно написати вирази Q і М для кожної ділянки в загальному вигляді, побудувати епюри Q і М, знайти M_max, і підібрати дерев’яну балку круглого поперечного перерізу при [ s ] = 8 МПа

Рішення.

1. Визначення опорних реакцій.

Невідомі реакції R_A і M_A знаходимо з рівнянь рівноваги:

; ;

кН·м

; ;

кН.

Перевіряємо правильність визначення опорних реакцій:

; .

Отже опорні реакції визначені вірно.

2. Аналітичні вирази для Q_i i M_i

Вибираємо позитивний напрямок осі x показаний на рис 13 б з початком відліку на лівому кінці балки. Розбиваємо балку на ділянки, границі яких визначаються перерізами, в яких прикладені зовнішні навантаження. В даному випадку балка має чотири ділянки:

а)

б)

Q

в)

, кН

, кН·м

г)

Рис. 13

І ділянка – від 0 до a₁;

II ділянка – від a₁ до а₂;

III ділянка – від а₂ до а₃;

IV ділянка – від а₃ до l₁.

Для складання аналітичних виразів поперечної сили та згинального моменту використовуємо метод перерізів. Для цього уявно перерізаємо балку в межах кожної ділянки, відкидаємо праву, в даному випадку, частину і розглядаємо рівновагу лівої частини (рис. 9 б).

З рівнянь рівноваги для цієї частини балки поперечна сила в перерізі зі змінною координатою визначається як сума проекцій на вісь , перпендикулярну до осі балки всіх зовнішніх сил, а згинальний момент – як сума моментів відносно центральної осі даного поперечного перерізу всіх зовнішніх сил. При цьому поперечна сила вважається позитивною, якщо вона намагається повернути цю частину балки за годинниковою стрілкою, згинальний момент вважається позитивним, якщо він стискує верхні волокна балки.

Дата добавления: 2015-11-30