Система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны.

Это фундаментальное положение было сформулировано Александром Михайловичем Ляпуновым (1857 -1918 г.г.), учеником П.Л. Чебышева. Он заложил основы теории устойчивости. Рассматриваемый вопрос об устойчивости состояния покоя системы является частным случаем общей теории устойчивости Ляпунова.

Положение равновесия называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, кроме того удовлетворяет условию:

При дальнейшем развитии теории устойчивости (после Ляпунова) было показано, что если состояние равновесия асимптотически устойчиво, то и при длительном действии возмущающих сил произвольных по виду, но малых по величине также будет иметь место устойчивость объекта (теорема И.Г. Малкина).

Левая часть характеристического уравнения (1) представляет собой знаменатель операторного выражения для изображений тока, напряжения и т.п.

.

Таким образом, корни характеристического уравнения цепи являются полюсами изображения F(p).

Отсюда следует, что для устойчивости цепи необходимо, чтобы изображение цепи F(p) не имело полюсов в правой полуплоскости комплексной переменной p = a + jb.

В случае кратных корней характеристического уравнения в его решение будут входить члены со временем – t:

,

где k – кратность корня. Если α_k > 0, имеем:

.

Поэтому если среди простых корней есть корни с нулевыми вещественными частями α_n≠ 0 положение равновесия устойчиво, но не асимптотически.

Если же нулевые корни кратные, то может иметь место как устойчивость, так и неустойчивость, необходимо проводить анализ нелинейного уравнения.

А.М. Ляпуновым было доказано, что если состояние равновесия линеаризованной системы асимптотически устойчиво, то и состояние равновесия нелинейной системы также асимптотически устойчиво; если же состояние равновесия линеаризованной системы неустойчиво, то неустойчиво и состояние равновесия нелинейной системы.

В случае, если среди корней характеристического уравнения имеются корни с нулевой действительной частью, то для ответа об устойчивости нелинейной системы следует учитывать её нелинейность.

Наличие корней с нулевыми действительными частями (остальные корни имеют отрицательные вещественные части) свидетельствуют о границе устойчивости. При этом малые изменения параметров системы могут привести как к устойчивости, так и к неустойчивости.

Различают апериодическое нарушение устойчивости и колебательное или самораскачивание системы при

Дата добавления: 2015-11-30