Типовые задачи для решения в аудитории

1. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.

Решение. Пространство элементарных равновозможных событий представляет собой следующее множество:

- герб на 1–й монете, герб на 2–й монете,

- герб на 1–й монете, цифра на 2–й монете,

- цифра на 1–й монете, герб на 2–й монете,

- цифра на 1–й монете, цифра на 2–й монете.

Элементарные события, благоприятствующие наступлению события А (выпадение хотя бы одного герба): , , .

Следовательно, .

2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

Решение. Опыт можно рассматривать как выборку с возвращением объема из генеральной совокупности, содержащей элементов. Число всех равновозможных исходов, поставленных в соответствие опыту, равно числу размещений с повторениями из элементов по и равно .

Событие А – сумма очков на выпавших гранях четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

Число случаев, благоприятствующих событию, равно пяти: пары (4, 6), (2, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6).

Следовательно, .

3. Среди 17 студентов, из которых 8 девушек, разыгрываются 7 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?

Решение. Событие А – среди обладателей билетов окажутся 4 девушки.

Опыт можно рассматривать как неупорядоченную выборку без возвращения объема из генеральной совокупности, содержащей элементов. Число всех равновозможных исходов (случаев), поставленных в соответствие опыту, равно числу сочетаний из элементов по . Из них событию А благоприятствуют те случаи, при которых 4 элемента выбраны из 8 (девушек) (число таких способов ), а 3 из оставшихся 9 (юношей) (таких способов ).

Используя правило умножения, рассмотренное в комбинаторике, получим, что

число событий, благоприятствующих наступлению события .

Следовательно, .

4. Десять различных книг расставлены на полке наудачу. Найти вероятность того, что три определенные книги окажутся рядом.

Решение. 1 способ. Число равновозможных исходов, поставленных в соответствие опыту, равно Число благоприятствующих событию А (три определенные книги окажутся рядом) исходов определим следующим образом: определенные три книги будем рассматривать как «склеенные», тогда число перестановок всех книг , а число перестановок внутри 3-х «склеенных» книг По правилу умножения число благоприятствующих случаев равно

Следовательно .

II способ. Опыт можно рассматривать как неупорядоченную выборку из (мест) по . Тогда число всех равновозможных исходов равно . Число благоприятствующих исходов – это число способов выбрать три места на полке рядом. Легко видеть, что на полке, имеющей 10 мест, три следующих подряд места можно выбрать 8-ю способами.

Следовательно, .

III способ. Способ отличается от 2-го способа только тем, что выборка полагается упорядоченной. Тогда

.

5. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиусом . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

Решение. Точка М (центр монеты) может с равной вероятностью попасть в любую точку отрезка АВ, перпендикулярного параллельным прямым; длина

отрезка АВ равна 2а. Данному событию благоприятствует попадание центра монеты в любую точку отрезка СД, длина которого равна (рис. 1). Следовательно, .

А В

0 С Д

Рисунок 1

Дата добавления: 2015-11-30