Постановка обратной задачи теплопроводности.

(два вопроса в одном)

(часть 3 стр. 74)

Положим, имеем (см. рис. 2.5) однородную плоскую неограниченную пластину (стенку) толщиной Н из материала, теплопроводность λ которого надо измерить.

Если в эксперименте создать условия, когда через эту пластину будет проходить неизменный во времени и равномерно распределенный тепловой поток q, условно показанный стрелками на рис. 2.5, то после достижения стационарного режима в этой пластине установится линейное распределение температуры, а на поверхностях пластины можно измерить два значения температур Т 1 и Т 2.

Постараемся найти ответ на вопрос, – каким образом по измеренным значениям физических величин q, T1, T2, H можно определить искомое значение теплопроводности λ.

Рисунок 2.5. Схематическое представление физической модели измерительного устройства

Математическая модель метода и устройства Принимая во внимание, что на двух поверхностях пластины нам известны два измеренных значения температур, а именно, при х = 0, Т(0) = Т 1, при х = Н, Т(Н) = Т 2, а, кроме того, при х = 0 измерен тепловой поток математическая модель температурного поля образца для рассматриваемого метода и устройства может быть записана в виде:

с дополнительным условием

Эта задача представляет собой пример нестационарной обратной (инверсной) краевой задачи теплопроводности относительно неизвестного коэффициента теплопроводности λ. По истечении большого промежутка времени в исследуемой пластине устанавливается стационарный режим переноса теплоты, когда распределение температуры Т(х) в стационарном режиме может быть получено из решения краевой задачи теплопроводности при . Причем при

Температура перестает зависеть от времени, а начальное условие совершенно не сказывается на стационарном распределении температуры в используемой пластине. С учетом сказанного выше, краевая задача для стационарного процесса переноса тепла примет вид:

с дополнительным условием

Полученная задача, представляет собой пример обратной (инверсной) стационарной задачи теплопроводности относительно неизвестного пока параметра – искомой теплопроводности λ. Проинтегрируем уравнение (2.7 а), взяв неопределенный интеграл от его левой и правой частей

или

Сравнивая (2.8) с (2.7 а), получаем

Тогда уравнение (2.8) приобретает вид

или

Проинтегрируем последнее выражение в пределах от х = 0 до х = Н. В результате получаем

откуда следует основное расчетное соотношение рассматриваемого стационарного метода плоского слоя

которое, с учетом приведенных на рисунке 2.5 обозначений

приобретает вид

Из изложенного выше вытекает следующий примерный порядок осуществления эксперимента при измерении теплопроводности λ стационарным методом.

1. Из исследуемого материала изготавливают образец (или несколько образцов) в виде пластины необходимой формы, например, в виде диска или пластины квадратной формы с заданными размерами.

2. С использованием микрометра (в крайнем случае, штангенциркулем) многократно (n раз) измеряют значение толщины Н пластины в нескольких местах поверхности и находят среднее значение этой толщины

3. Образец (или несколько образцов) помещают в измерительную ячейку и начинают подводить постоянный во времени тепловой поток q к этому образцу (образцам).

4. Через определенные промежутки времени контролируют значения температур Т 1, Т 2 на внешних поверхностях исследуемого образца.

5. После достижения стационарного распределения температуры в исследуемом образце, когда измеряют значение теплового потока q и значение температур Т 1, Т 2.

6. Исследуемую теплопроводность λ рассчитывают по формуле по измеренным значениям Н, q, T1 и T2.

Дата добавления: 2015-11-16