Спектр пачки равноотстоящих импульсов

Упражнение 1.8.4. Найдём спектр пачки равноотстоящих импульсов. Для определённости возьмём пачку из прямоугольных импульсов (рис. 1.8.13).

Рис. 1.8.13

Обозначим через спектральную плотность первого импульса. Тогда для группы из равноотстоящих импульсов в соответствии с теоремой запаздывания будем иметь

На частотах , где – целое, каждое слагаемое в квадратных скобках равно единице, следовательно:

Таким образом, на частотах модуль спектра пачки в раз больше модуля спектра одиночного импульса. Это объясняется тем, что на частотах спектральные компоненты различных импульсов складываются с фазовыми сдвигами, кратными

Суммируя членов геометрической прогрессии, получаем

Видно, что на частотах где – целое, Подставляя сюда значение

где – длительность отдельного импульса, получаем окончательно для спектра пачки из равноотстоящих прямоугольных импульсов:

Для иллюстрации на рис. 1.8.14 а изображён модуль спектра пачки из трёх прямоугольных импульсов, а на рис. 1.8.14 б – из четырёх. При этом интервал между соседними импульсами Пунктиром изображён модуль спектра одиночного импульса. С увеличением числа импульсов в пачке спектральная плотность при принимает дискретную структуру спектра периодической функции (рис. 1.9.2).

Нетрудно обобщить этот результат на произвольную форму одиночного импульса.

Рис. 1.8.14. Модуль спектра пачки прямоугольных импульсов:

а – три импульса в пачке, б – четыре импульса в пачке

В заключении этого параграфа приведём сводку основных свойств преобразования Фурье. Их можно рассматривать как задачи и упражнения для самостоятельной работы.

Дата добавления: 2015-11-16