Введение в цифровые фильтры

Цифровым фильтром обычно называют линейную инвариантную во времени дискретную систему, описываемую следующим соотношением:

В настоящее время разработаны эффективные методы выбора коэффициентов фильтра и так, чтобы фильтр обладал требуемыми характеристиками для обработки цифровых сигналов. Фильтр, описанный указанным выше соотношением, можно запрограммировать или промоделировать на универсальной цифровой ВМ. Его можно реализовать, используя цифровые электронные компоненты (регистры, сумматоры, умножители и т. д.).

Основные преимущества цифровых фильтров:

- надежность;

- устойчивость;

- предсказуемое поведение;

- гибкость, возможность изменения характеристик простым считыванием из памяти нового множества коэффициентов;

Это означает, что одна структура фильтра вместе с процедурой разделения времени может обслуживать множество входных и выходных сигналов.

Основные ограничения:

- квантованный характер цифровых сигналов;

- конечная длина регистров, используемых при реализации.

Выполним Z преобразование дискретного уравнения, описывающего цифровой фильтр.

Левая часть соответствует Z преобразованию выходной последовательности Y(z), правая часть, с учетом теоремы сдвига, соответствует Z преобразованию входной и выходной последовательности, сдвинутых на соответствующую величину. Таким образом:

Отсюда

(*),

где

есть передаточная функция цифрового фильтра, определяемая отношением Z преобразованиея выхода к Z преобразованию входа S(z).

Обозначив N(z) числитель и D(z) знаменатель передаточной функции, нетрудно видеть, что их корни являются соответственно нулями и полюсами K(z).

Как известно, импульсная характеристика соответствует реакции фильтра на входной сигнал, равный единичному импульсу. В этом случае, если S(z)=1, то Y(z)=K(z).

Таким образом, импульсная характеристика равна обратному Z преобразованию передаточной функции K(z).

Так как для вычисления текущей выходной выборки не требуется будущее значение входной и выходной выборок, то фильтр физически реализуем. В этом смысле для импульсной характеристики справедливо .

Для устойчивости фильтра, как известно из курса по кибернетике, все его полюсы должны лежать внутри единичной окружности.

Из (*) следует, что выходной сигнал есть свертка входного сигнала и импульсной характеристики

,

где

Цифровые фильтры классифицируют на рекурсивные и нерекурсивные.

Рекурсивные фильтры используют в вычислениях ранее вычисленные выходные выборки. Для них хотя бы один .

Если для всех k, то фильтр называют нерекурсивным.

Передаточная функция нерекурсивных фильтров сводится к полиному от , а выборки импульсной характеристики совпадают с коэффициентами фильтра.

,

в остальных случаях

По этой причине нерекурсивный фильтр является также фильтром с КИХ, а рекурентный фильтр - фильтром с БИХ.

Несмотря на эти отличия, фильтры как рекурсивного, так и нерекурсивного типа можно проектировать, реализуя почти любую требуемую характеристику.

Дата добавления: 2015-11-14