Методические указания

Методы численного интегрирования

Цель работы: Изучение алгоритмов вычисления определенных интегралов

Методические указания

Численное интегрирование применяется, если нахождение первообразной интегрируемой функции f(x) сложно или невозможно. Оно заключается в интерполяции f(x) на отрезке [a, b] подходящим полиномом, для которого определенный интеграл вычисляется по формулам численного интегрирования. Обычно отрезок разбивается на n частей, к каждой из которых применяется соответствующая простая формула. Таким образом получают составные (или сложные) формулы численного интегрирования.

Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников, при котором функция f(x) заменяется интерполяционным полиномом нулевого порядка. Для повышения точности интегрирования отрезок [a, b] разбивается на n частей и формула прямоугольника применяется к каждому отрезку. Формула вычисления определенного интеграла по методу прямоугольников имеет вид

Модифицированный метод прямоугольников основан на представлении ординатами, смещенными на величину 0,5Dx

Метод трапеций заключается в линейной интерполяции f(x) на отрезке [a, b]. Для уменьшения погрешности отрезок [a, b] разбивается на n частей, как и в методе прямоугольников. С учетом суммирования смежных ординат внутри отрезка [a, b] формула метода трапеций имеет вид

Метод Симпсона (метод парабол). Отрезок [a, b] разбивается на четное число частей (n четное), и на каждой паре соседних интервалов функция f(x) интерполируется полиномом второй степени (параболой). Результирующая формула Симпсона имеет вид

Как видно из формулы, кроме крайних значений аргумента, ординаты для значений x с нечетными индексами входят в сумму с весовым коэффициентом 4, а с четными индексами – 2. На рисунке представлена схема одного из возможных алгоритмов вычисления определенного интеграла по формуле Симпсона.

Дата добавления: 2015-11-14