Практическое занятие 3. Способы преобразования проекций

Способ вращения. Выбрав ось вращения, объекты проецирования (точку, прямую и плоскость) можно повернуть до требуемого частного положения (параллельного или перпендикулярного плоскости проекций). При этом все точки вращаемых объектов перемещаются в параллельных плоскостях по окружностям. Вращение любой точки осуществляется в следующей последовательности:

1) выбирают ось вращения и проводят плоскость, в которой вращается точка. Плоскость вращения всегда должна быть перпендикулярной оси вращения;

2) определяют центр и радиус (его натуральную величину) вращения;

3) производят необходимый поворот.

Пример 11. Повернуть точку А вокруг горизонтально-проецирующей оси i против хода часовой стрелки на угол (рис. 11, а).

а)	б)
в)
Рис. 11

Решение. Точка А (А', А'') вращается вокруг оси i в горизонтальной плоскости Р () (рис. 17, б, в). Проводим из точки А (А', А'') перпендикуляр АО (А'О', А''О'') к оси вращения. Поскольку АО (А'О', А''О'') является отрезком горизонтальной прямой, то на горизонтальную плоскость проекций он спроецируется в натуральную величину. Радиусом А'О' поворачиваем точку А (А', А'') на заданный угол .

Пример 12. Определить натуральную величину отрезка АВ общего положения (рис. 12, а).

а)	б)
в)
Рис. 12

Решение. Для того чтобы определить натуральную величину отрезка, его необходимо привести в положение, параллельное одной из плоскостей проекций, например, фронтальной (рис. 12, б). Проводим через точку В (В', В'') горизонтально-проецирующую ось вращения i (i', i''). Тогда точка В (В', В'') отрезка будет неподвижной, а точка А (А', А'') вращается в горизонтальной плоскости Р () до тех пор, пока отрезок АВ (А'В', А''В'') не окажется в положении, параллельном фронтальной плоскости проекций. В этом положении его горизонтальная проекция должна быть параллельна оси проекций ( В' ║ x). Далее строим проекцию точки А в повернутом положении, и, соединяя ее с В'', получаем натуральную величину отрезка АВ.

Аналогично можно построить натуральную величину отрезка АВ, приведя его в горизонтальное положение, вращением вокруг фронтально-проецирующей прямой (рис. 12, в).

Пример 13. Вращением вокруг линии уровня определить натуральную величину треугольника ABC (рис. 13, а).

Решение. Для построения натуральной величины треугольника необходимо повернуть его плоскость до положения, параллельного одной из плоскостей проекций. На рис. 13, б показано вращение плоскости треугольника ABC вокруг его горизонтали h до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекций.

а)	б)
Рис. 13

Решение выполняется в следующей последовательности. В плоскости треугольника ABC проводим горизонталь h (, ). Затем строим следы и горизонтально-проецирующих плоскостей и , в которых вращаются точки A и C соответственно, перпендикулярно горизонтали h ( и ). Точка В неподвижна, так как лежит на оси вращения (горизонтали h). Определяем центр и натуральную величину радиуса вращения точки A. Центром вращения является точка О (, ). Натуральная величина отрезка АО определена способом прямоугольного треугольника. Далее от точки откладываем по следу отрезок и получаем положение вершины А после поворота. Для построения точки через точку и точку (она также неподвижна, поскольку лежит на оси вращения h) проводим прямую до ее пересечения со следом . Полученная точка пересечения – искомая точка .

Соединяем последовательно точки , и , и получаем натуральную величину треугольника ABC.

Способ плоскопараллельного перемещения. Плоскопараллельное перемещение основано на способе вращения без указания осей вращения. Например, вращая отрезок прямой общего положения до положения, параллельного какой-либо плоскости проекций, можно заметить, что одна из его проекций не меняет своей длины при ее повороте параллельно оси проекций.

Пример 14. Определить натуральную величину отрезка АВ общего положения (рис. 14, а).

а)	б)

 

в)

Рис. 14

Решение. Располагаем горизонтальную проекцию А'В' отрезка АВ параллельно оси проекций x (рис.14, б), сохраняя ее длину ( ║ x, = = А'В'). Фронтальные проекции точек А и В перемещаются по линиям, параллельным оси проекций х. На пересечении линий связи и этих прямых получаем фронтальные проекции и точек А и В соответственно после перемещения. Соединяем точки А'' и В'' и получаем натуральную величину отрезка.

Аналогично можно определить натуральную величину отрезка АВ, приведя его плоскопараллельным перемещением в горизонтальное положение (рис. 14, в).

Способ совмещения. Способ совмещения является частным случаем способа вращения. Его сущность состоит в том, что плоскость вращается вокруг одного из ее следов до совмещения с соответствующей плоскостью проекций. В совмещенном с плоскостью проекций положении любой плоский геометрический объект сохраняет свои истинные линейные и угловые размеры.

Пример 15. Построить совмещенный с горизонтальной плоскостью проекций фронтальный след плоскости Р общего положения (рис. 15, а, в, д).

Решение. Для построения совмещенного фронтального следа с горизонтальной плоскостью проекций (рис. 15, б, г, е) выбираем на следе произвольную точку N (N', N'') и вращаем ее вокруг следа до совмещения с горизонтальной плоскостью проекций. Проекция принадлежит следу , а – лежит на оси x. Через точку строим прямую (след горизонтально-проецирующей плоскости, в которой вращается точка N), перпендикулярную следу (или его продолжению). Раствором циркуля, равным , проводим дугу с центром в точке до пересечения ее с построенным ранее перпендикуляром. На пересечении этих линий получаем совмещенное положение точки N с горизонтальной плоскостью проекций. Через неподвижную точку схода следов, которая принадлежит оси вращения, и совмещенное положение проводим совмещенный фронтальный след плоскости Р.

Рис. 15

Способ перемены плоскостей проекций (способ введения дополнительных плоскостей проекций). Этот способ преобразования проекций предполагает, что объекты проецирования сохраняют свое положение относительно плоскостей проекций неизменным. При этом вводятся новые плоскости проекций таким образом, чтобы геометрические объекты оказались в частном относительно них положении. При решении задач этим способом необходимо помнить следующее:

Рис. 16

1) плоскости проекций всегда должны быть взаимно перпендикулярными;

2) линии, соединяющие проекции точек (линии связи), должны быть всегда перпендикулярны осям проекций;

3) расстояние от точки до плоскости проекций, не изменяющей своего положения в пространстве, остается постоянным.

На рис.16 показан принцип замены плоскостей проекций. Новая фронтальная плоскость V ₁ расположена перпендикулярно плоскости проекций Н. Линия пересечения х ₁ плоскостей проекций V ₁ и Н называется новой осью проекций.

Пример 16. Определить натуральную величину отрезка АВ общего положения (рис.17, а).

Решение. Заменим плоскость проекций V на плоскость , расположив ее параллельно отрезку АВ (А'В', А''В'') (рис. 17, б). В новой системе плоскостей проекций отрезок АВ будет занимать положение, параллельное плоскости V ₁, и его горизонтальная проекция должна быть параллельна оси проекций. Поэтому ось х ₁ в новой системе плоскостей проекций строим параллельно А'В'. Откладываем от оси х ₁ аппликаты и соответствующих концов отрезка вдоль линий связи и получаем проекции и . Соединяем эти точки отрезком прямой и получаем натуральную величину отрезка АВ (А'В', А''В'').

Эту же задачу можно решить, выполнив замену горизонтальной плоскости проекций (рис. 17, в).

а)	б)
в)
Рис. 17

Пример 17. Переменой плоскостей проекций определить натуральную величину треугольника ABC (рис. 18, а).

Решение. Преобразуем систему плоскостей проекций так, чтобы треугольник ABC стал расположен параллельно одной из них (рис.18, б).

Проведем в плоскости треугольника горизонталь h (, ) и заменим плоскость проекций V плоскостью , перпендикулярной горизонтали h (х ₁ ), а следовательно, и треугольнику ABC. При этом сохраняются аппликаты точек А, В и С. Новая фронтальная проекция треугольника преобразуется в прямую линию .

Затем введем параллельно плоскости треугольника и перпендикулярно новую горизонтальную плоскость проекций (строим х ₂ ║ ), на которой получим новую горизонтальную проекцию , представляющую собой натуральную величину треугольника ABC. При этом остаются неизменными ординаты точек системы х ₁ .

а)

б)

Рис. 18

Дата добавления: 2015-11-14