Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

ОпрОДУ вида или вида называется ОДУ с разделяющимися переменными. ОДУ вида или вида называется ОДУ с разделенными переменными.

Численное решение задачи Коши для ОДУ | Функциональные преобразователи и схемы | ОпрЛогические формулы называются равносильными, если соответствующие им булевы функции совпадают. | Опр Если каждый конъюнкт содержит все переменные (причём только саму переменную или её отрицание), то ДНФ называется совершенной (СДНФ). | Ортогональные системы функций и ряды Фурье |


Читайте также:
  1. q]2:1:Форма бытия материи, выражающая протяженность составляющих ее объектов, их строение из элементов и частей называется
  2. В хронологии Палеолита самый удаленный от нас период называется
  3. Вопрос 54.Совокупность ЭВМ и программного обеспечения называетсявычислительной системой.
  4. Восстановление оксидов железа углеродом называется
  5. Задание 1. Следует помнить, что некоторые глаголы и прилагательные требуют после себя определенных предлогов. Эта связь слов в предложении называется управлением.
  6. Информация собранная впервые для какой-нибудь конкретной цели называется:первичные данные
  7. Как называется размер расчетного резерва на возможные потери по ссудам:провизии

Интегрируемые ОДУ первого и второго порядков

ЗАМЕЧАНИЕ Решения этих уравнений выписываются в квадратурах:

, .

_____

Опр Функция называется однородной функцией степени , если

.

Пример -однородная функция нулевой степени; - однородная

функция степени .

Опр ОДУ вида или вида называется однородным, если соответственно - однородная функция нулевой степени, - однородные функции одинаковой степени.

ЗАМЕЧАНИЕ Однородное ОДУ преобразуется в ОДУ с разделяющимися перемен ными, если зависимую переменную заменить на по формуле .

_____

Опр ОДУ вида , где функции заданы и непрерывны, называется уравнением Бернулли, если и линейным уравнением (ЛДУ) в противном случае.

ЗАМЕЧАНИЕ Эти ОДУ решаются методом вариации произвольной постоянной. 1) Сначала решается ОДУ с разделяющимися переменными .

.

2) Решение исходного уравнения ищем в виде , считая в предыдущем решении произвольную постоянную зависящей от (говорят: варьируя произвольную постоянную ). Для нахождения подставим это решение в

исходное уравнение: . После сокращения получаем уравнение с разделяющимися переменными для нахождения .

Пример Пусть в фильтре нижних частот входное напряжение изменяется по синусоидальному закону: . Тогда уравнение фильтра нижних частот имеет вид . Так как решение соответствующего однородного уравнения равно , то частное решение ищем в виде. находим из уравнения с разделяющимися переменными

где . Тогда падение напряжения на конденсаторе изменяется по закону .

С течением времени второе слагаемое стремится к нулю. Поэтому будет меняться периодически. Его амплитуда , очевидно, мала для больших (верхних) значений частот , что и объясняет название фильтра.

­­­____

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Решение ОДУ второго порядка вида сводится к решению ОДУ первого порядка с помощью замены .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Решение ОДУ второго порядка вида сводится к решению

ОДУ первого порядка с помощью замены на зависимую переменную .

Первое очевидное. Докажем второе. .

Пример (Уравнение колебаний математического маятника).

Материальная точка массы подвешена на нерастяжимой нити длины . На неё действуют две силы: вертикальная сила тяжести и сила реакции нити. Запишем закон колебаний маятника в виде

,

где - угол его отклонения от положения равновесия в момент времени. Равнодействующая этих сил направлена по касательной к маятнику и потому второй закон Ньютона для него имеет вид

Продифференцируем первую систему два раза

.

И мы вывели уравнение колебаний математического маятника

Это ОДУ второго порядка. Понизим его порядок с помощью замены

.

В крайнем левом положении маятника по физическому смыслу имеем

.

 


Дата добавления: 2015-11-16; просмотров: 44 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Аналитическая часть.| Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)