Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Решение игр в смешанных стратегиях.

Читайте также:
  1. PMCS стала первым Облачным партнером Microsoft по управлению проектами предоставив решение с интеграцией с Office 365
  2. R15. Соревнования смешанных пар (дабл микст)
  3. А теперь мое решение проблемы
  4. Аналитическое решение
  5. Аналитическое решение задачи экранирования магнитного поля внутри полого шара
  6. В соответствии с решением приемной комиссии (ПРОТОКОЛ № 8 от 19.08.2013г.) и Правилами приема граждан на обучение в ОГБОУ СПО «Ульяновский строительный колледж» от 06 мая 2013г.
  7. Виды смешанных гипсовых вяжущих. Свойства и применение.

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

Смешанной стратегией SA игрока А называется применение чистых стратегий А1, А2,…,Аi,…Аm с вероятностями p1, p2,…,pi,…pm, причем сумма вероятностей равна 1: . Смешанные стратегии игрока записываются в виде матрицы:

,

или в виде строки . Аналогично свешанные стратегии игрока В обозначаются:

или , где сумма вероятностей появления стратегий игрока В равна 1: .

Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать строкой из нулей и единицы, причем единица должна стоять в позиции, соответствующей чистой стратегии.

На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение игры: это пара оптимальных стратегий , в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей оптимальной стратегии. Выигрыш, соответствующей оптимальному решению, называется ценой игры . Цена игры удовлетворяет неравенству:

,

где - нижняя цена игры; - верхняя.

Теорема Неймана: каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий.

Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с вероятностью, отличной от нуля, то она называется активной.

Теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равен цене игры , если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.

Пусть задана платежная матрица игры:

Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию

, а игрок В чистую стратегию (соответствует первому столбцу платежной матрицы Р), равен цене игры :

.

Тот же средний выигрыш получит игрок А, если игрок В выберет стратегию , то есть: . Учитывая, что , получим систему уравнений для определения оптимальной стратегии и цены игра :

 

Решая эту систему получим оптимальную стратегию и цену игры:

Применяя теорему об активных стратегиях - оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А ( или ) средней проигрыш игрока В равен цене игры :

 

Решая эту систему получим оптимальную стратегию и цену игры:

Пример 18:

Игра "Поиск" задана платежной матрицей без седловой точки:

Ищем решение в смешанных стратегиях; для игрока А средней выигрыш равен цене игры , для игрока В средний проигрыш равен цене игры. Системы уравнений имеет вид:

Решая эти системы получаем

Это означает, что оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы чередовать свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое из убежищ с вероятностью 1/2, при этом средней выигрыш равен 0.

Задания:

Найти смешанные стратегии игроков и цену игры:

1.

-2  
  -1

2.

   
   

3.

  -2
   

 

 


Дата добавления: 2015-11-16; просмотров: 47 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Платежная матрица. Верхняя и нижняя цена игры.| ЗАНЯТТЯ № 3 III YEAR, V TERM

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)