Замечание 1. Другие канонические уравнения параболы.

.

l

у

у

Графики:

			О		х
		х

О

х

	l

Фокусы

Директриса

Замечание 2. Есливершина параболы сдвинута и лежит в точке М (х ₀, у ₀). Тогда ее каноническое уравнение имеет вид: . Тогда фокус , уравнение директрисы .

Парабола так же, как и эллипс, обладает свойством, связанным с отражением света (рис. ниже). Свойство сформулируем опять без доказательства.

Свойство. Пусть -- фокус параболы, -- произвольная точка параболы, -- луч с началом в точке параллельный оси параболы. Тогда нормаль к параболе в точке делит угол, образованный отрезком и лучом , пополам.

Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса , отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.

Пример 1. Постройте параболу . Найдите ее фокус и директрису.

Решение. Уравнение является каноническим уравнением параболы, 2 р = 3, р =1,5. Осью параболы служит ось , вершина находится в начале координат, ветви параболы направлены вдоль оси . Для построения найдем несколько точек параболы. Для этого придаем значения переменному у и находим значения . Возьмем точки . Учитывая симметрию относительно оси , рисуем кривую (рис.)

Фокус лежит на оси на расстоянии от вершины, то есть имеет координаты (0.75, 0). Директриса имеет уравнение .

Пример 2. Построить параболу .

у

Решение. Найдем каноническое уравнение параболы. , следовательно, вершина параболы в точке М(0, -4), ветви вниз симметрично оси (Оу), 2 р = 1, отсюда . Фокус , уравнение директрисы .

l

Дата добавления: 2015-07-11