Задачи для самостоятельного решения.

1.Написать уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси ОХ, если даны:

а)а=6;в=2

б)а=4;в=5

в)а=5;в=13

г)а=8;в=6

Сделать чертежи.

2.Дана гипербола x²/9-y²/25=1 определить её оси и расстояние между фокусами. Сделать чертеж.

3.Найти координаты вершин и фокусов гиперболы x²/144-y²/25=1.

4.Написать уравнение гиперболы, у которой:

а)Фокусы имеют координаты(±4;0), а действительная ось равна 6.

б)Фокусы имеют координаты(0;±5) и действительная ось равна 8.

5.Определить координаты фокусов, длину осей и эксцентриситет гиперболы:

а)24x²-25y²=600

б)16y²-9x²=144

в)4x²-5y²-100=0

г)9x²-4y²-144=0

6.Написать уравнение гиперболы, если:

а)с=3,ξ=1,5

б)Уравнение её асимптот 3х+2y=0 и 3х-2y=0, а расстояние между вершинами 2а=4.

в)Фокусы её на оси ОХ, расстояние между ними равно 20, а уравнение её асимптот y=±4/3

г)c=7; ξ=7/12√6

7.Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом x²/64+y²/28=1 при условии, что эксцентриситет её ξ=1,2.

8.Составить уравнение асимптот гиперболы, заданной уравнением x²/36-y²/25=1.

9.Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах эллипса, заданного уравнением x²/25+y²/16=1, а фокусы- в вершинах того же эллипса. Сделать чертеж.

10.Составить уравнение гиперболы, проходящей через фокусы эллипса x²/289+y²/225=1, а её фокусы находятся в вершинах этого эллипса.

11.Составить уравнение равносторонней гиперболы, фокусы которой совпадают с фокусами гиперболы 5x²-3y²=60.

12.Найти точку пересечений гиперболы x²-2y²=18 с прямой х=6.

13.Найти точку пересечения гиперболы x²-2y²=4 с прямой 3х-4y=2.

14.Найти острый угол между асимптотами гиперболы 4x²-5y²=100.

Парабола.

Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается Р (Р>0).

Пусть фокус F(P/2;0), директриса x=-P/2.

По определению параболы MF=MN

MF= √(x-P/2)²; MN= √(x+P/2)+(y-y)²

√(x-P/2)²=√(x+P/2)²

Взведутся обе части в квадрат: x²-px+p²/4+y²=x²+px+p²/4

y²=2px

Каноническое уравнение параболы.

Параболы- линия второго порядка.

Исследование форм параболы по её уравнению.

y²=2px.

1.В уравнение переменная y входит в четной степени => парабола симметрична относительно оси ОХ; ОХ- ось симметрии параболы.

2.Так как р>0(параметр расстояния от фокуса до директрисы) => х≥0 => парабола располжена справа от оси OY.

3.При х=0 => y=0 => парабола проходит через О(0;0).

4.При неограниченном возрастании х => |y| неограниченно возрастает.

Задачи.

Задача 1.

Дана парабола y²=12x.

Найти координаты её фокуса и написать уравнение директрисы.

Решение.

Парабола y²=12x симметрична относительно оси OX и расположена справа от оси OY => 2р=12 =>р=6ю

Фокус имеет координаты F(p/2;0) => F(3;0). Директриса имеет уравнение х=-р/2 => х=-3.

Задача 2.

Фокус параболы с вершиной в начале координат лежит в точке F(0;-4). Написать уравнение параболы.

Решение.

Данная парабола симметрична относительно оси OY и ветви вниз => уравнение x²=-2py.Так как фокус F(0;-4) => p/2=4 => p=8 => уравнение параболы x²=-16y.

Контрольные вопросы.

1.Что называется параболой?

2.Что называется директрисой параболы? Её уравнение?

3.Записать уравнение параболы.

4.Записать координаты фокуса и вершины пораболы.

5.Записать уравнение параболы, если

а) Её ветви направлены вверх, вершина в точке (0;0).

б)Её ветви направлены влево, вершина в точке(0;0).

Дата добавления: 2015-07-11