Кривые второго порядка

Линии, определяемые уравнениями второй степени с двумя текущими координатами

называются кривыми второго порядка. Это уравнение на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) определяет окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

Окружность – множество точек плоскости_ _ _ _ _ _ _

Расстояние от точки окружности до центра называется _ _ _ _ _ _ _

Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид

уравнение окружности радиуса с центром в точке :

.

Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через , расстояние между ними через , сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов через . По определению _ _ _ _ _ _ _Выберем ДСК так, чтобы фокусы лежали на оси , а начало координат совпадало с серединой отрезка . Тогда фокусы будут иметь координаты_ _ _ _ _ _ _ Пусть – произвольная точка эллипса. По определению имеем , т.е.

Обозначим . Тогда получим

– каноническое уравнение эллипса.

Числа называются полуосями эллипса. Степень «вытянутости» эллипса характеризует эксцентриситет

.

Привести к каноническому виду уравнение и построить кривую.

Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через , расстояние между ними через , модуль разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов через . По определению_ _ _ _ _ _ Выберем ДСК так, чтобы фокусы лежали на оси , а начало координат совпадало с серединой отрезка . Доказать САМОСТОЯТЕЛЬНО, что уравнение гиперболы в этом случае имеет вид

,

где обозначено .

Здесь Числа – действительная, – мнимая полуоси гиперболы, прямые называются асимптотами.

Эксцентриситет гиперболы .

Привести к каноническому виду уравнение , построить кривую, найти координаты фокусов.

Парабола – множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки , называемой фокусом, и данной прямой , называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы.

Выберем ДСК как указано на рисунке. Тогда

Построить параболу .

Дата добавления: 2015-07-11