Примеры

Свойства

Всякая кривая Пеано имеет кратные точки — это «предложение имеет огромную принципиальную важность для геометрии, так как оно показывает, в чем именно кроется самая геометрическая сущность различия числа измерений плоскости и прямой» (Лузин). Не существует кривой Пеано, всякая точка которой была бы простой или двукратной, но существует кривая Пеано, имеющая самое большее лишь трёхкратные точки (в счётном числе),— такова, например, кривая, построенная самим Пеано; конструкция Гильберта выше содержит четырёхкратные точки (также в счётном числе).

С понятием кривой Пеано связан любопытный факт существования пространственных простых дуг, проектирующихся на плоскость в виде сплошных площадей, — такова, например, кривая

r (t) = (x (t), y (t), t)

где первые две функции задают кривую Пеано. Хотя эта дуга и может защитить от вертикальных солнечных лучей, она не может служить защитой от дождя так как не есть непрерывная поверхность.

Существуют кривые Пеано, сохраняющие меру, то есть мера Лебега подмножества квадрата совпадает с мерой Лебега его прообраза на отрезке. Вышеприведённый пример Гильберта обладает этим свойством.

Примеры

Пример кривой Пеано, построенный Гильбертом. Здесь приведены первые шесть итераций последовательности кривых.

1. Рассмотрим функции f(x) и g(x), определенные на отрезке [0,1] следующим образом. Пусть разложение x в троичной системе счисления имеет вид 0, x1 x2 x3... xk (каждое из xk равно 0, 1 или 2). Тогда f(x) мы определим как число, имеющее следующее разложение 0,f1 f2 f3... fk в троичной системе:

f1 = x1 f2 = x2, если x2 четно, и 2-x2, если x2 нечетно x(2k-1), если x2+x4+...+x(2k-2) четноfk = 2-x(2k-1), если x2+x4+...+x(2k-2) нечетно

Аналогичным образом определим функцию g(x) = 0, g1 g2... gk... в троичной системе счисления:

g1 = x2, если x1 четно, и 2-x2, если x1 нечетно x(2k), если x1+x3+...+x(2k-1) четноgk = 2-x(2k), если x1+x3+...+x(2k-1) нечетно

Рассмотрим теперь отображение: x -> [f(x), g(x)]. Можно доказать, что:

1. Функции f(x) и g(x) корректно определены (т.е. в числах, допускающих 2 представления в троичной системе счисления, значения f(x) и g(x) окажутся не зависящими от выбора представления).

2. Функции f(x) и g(x) непрерывны на [0,1].

3. Система уравнений f(x) = a и g(x) = b имеет не менее 1 и не более 4 решений при любых a и b, лежащих на отрезке [0,1].

Тем самым, отображение с координатными функциями f и g на плоскости x -> [f(x),g(x)] непрерывно переводит отрезок [0,1] в квадрат [0,1]^2.

Идея почерпнута в книге:

Макаров Б.Н. Голузина М.Г. Лодкин А.А. Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" М.:Наука, 1992, стр. 44

Дата добавления: 2015-07-11