Саратов 2008

Саратовский государственный технический университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПОЛЕЙ

МЕТОДОМ ПРОВОДЯЩЕГО ЛИСТА

Методические указания

К выполнению лабораторной работы

по курсу «Теоретические основы электротехники»

для студентов специальностей: 180500, 100400.

Одобрено редакционно-издательским советом Саратовского государственного технического университета

Саратов 2008

Цель работы - экспериментально убедиться в аналогии между картинами распределения электрического поля постоянного тока в проводящей среде и электростатического плоскопараллельного поля при тождественных граничных условиях для сходных величин на примере теоретически строго решаемой задачи: электрического поля двухпроводной линии.

ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ

В тех случаях, когда конфигурация поверхностей, ограничивающих поля, настолько сложна, что рассчитать поле аналитическими методами не удается, прибегают к графическому или экспериментальному построению картины поля и определению по этой картине искомых величин.

Экспериментальные методы исследования и особенно моделирование полей за последнее время получили значительное распространение и развитие.

В основе моделирования полей лежит то, что они удовлетворяют одному и тому же уравнению. Так как наиболее удобно и просто снимается картина распределения электрического поля в проводящей среде, то с его помощью и моделируются как электрические, так и магнитные поля. По экспериментально снятой и графически обработанной картине поля можно определить напряженность поля в любой точке и интегральные характеристики моделируемых устройств (ёмкость, проводимость и др.).

Действительно, сопоставляя уравнения, описывающие электростатическое поле в диэлектрике вне зарядов, с уравнениями электрического поля в проводящей среде вне источников ЭДС, можно убедиться в их аналогии (табл. 1).

Таблица 1

Электрическое поле в диэлектрике (электростатическое поле)	Электрическое поле в проводящей среде (стационарное электрическое поле)

Здесь - напряжённость электрического поля, - вектор электрического смещения, φ – потенциал, U –напряжение, - плотность тока проводимости, g - удельная проводимость, - абсолютная диэлектрическая проницаемость, С – электрическая ёмкость, G – проводимость.

Электрическое поле в диэлектрике при отсутствии свободных объёмных зарядов и электрическое поле в проводящей среде вне источников ЭДС описываются уравнениями Лапласа . Эти уравнения в частных производных имеют бесконечное множество частных решений. Критерием выбора решения является теорема единственности: решение, удовлетворяющее уравнениям поля и граничным условиям данной задачи, является единственным.

Задача расчёта полей по уравнению Лапласа обычно состоит в определении потенциала φ, как функции координат в некотором объеме по заданным значениям потенциалов на поверхностях, ограничивающих этот объем.

При подобных исходных данных, то есть геометрическом подобии граничных поверхностей и аналогичном распределении потенциалов на этих поверхностях, решения уравнения Лапласа для различных полей будут также подобными. Поэтому результаты расчета одного поля можно перенести на расчет другого поля с подобными исходными данными.

Рассмотрим некоторые особенности моделирования электростатических полей электрическими полями в проводящей среде на примере моделирования электрического поля двухпроводной линии.

Электрическое поле двухпроводной линии плоскопараллельное, то есть картина поля одинакова для всех плоскостей, перпендикулярных осям проводников.

Как известно, внутри проводника электрическое поле существовать не может. Напряженность электрического поля внутри проводника равняется нулю. Все точки проводника имеют один и тот же потенциал. Следовательно, поверхность проводника представляет собой эквипотенциальную поверхность.

Из сказанного следует, что потенциал и напряженность электрического поля двухпроводной линии теоретически можно найти, если определить такое расположение двух фиктивных заряженных осей, при котором поверхность проводов двухпроводной линии совпадает с соответствующими эквипотенциальными поверхностями фиктивных осей. Поле вне проводов будет такое же, как и поле заряженных осей. Внутри проводов электростатического поля нет.

Картина поля двух заряженных осей в плоскости, перпендикулярной им, приведена на рис.1.

Если радиус провода двухпроводной линии - , расстояние между центрами проводников О₁ и О₂ - d, то расстояние между геометрическими

y

M_i

R_2i

R_1i M₁

I

k>1 II R₂₁ k<1

R R₁₁ R

x

+t -t

- x₁ O₂ 0 O₁ + x₁

R₀ R₀

Рис.1

осями проводов, образующих двухпроводную линию, и фиктивными заряженными осями Δd можно рассчитать по формуле:

.

В том случае, когда , величина Δ , а это значит, что оси реальных проводников и фиктивные заряженные оси практически совпадают.

Силовые линии вектора поля двухпроводной линии представляют собой семейство окружностей, которые проходят через заряженные оси, а их центры лежат на оси y. Эквипотенциальные линии представляют собой также окружности, центры которых лежат на оси x.

Уравнение эквипотенциалей , где k - параметр семейства эквипотенциалей. Радиус эквипотенциали:

;

координаты центра:

, .

Поскольку условие (рис.1) определяет положение всех точек i эквипотенциальной поверхности, то оно справедливо и для выделенных (рис.2) точек, которые лежат на оси x между заряженными осями (t - заряды осей на единицу длины [Кл/м]).

y

d

+t -t

x

R₁₀ R₂₀

R₁₁ R₂₁

R_1i R_2i

Рис.2

Для того, чтобы при построении поля двух разноименно заряженных осей приращение потенциала при переходе от любой линии равного потенциала к соседней оставалось постоянным, что упрощает процесс расчета, необходимо соблюдение следующего условия:

.

Из этого условия следует, что , где определяет первую эквипотенциальную линию. Если число зон равного потенциала между заряженными осями 2n, то , так как эквипотенциаль, которой соответствует , совпадает с осью y . Откуда

,

или .

С учетом изложенного, радиус i эквипотенциальной линии

,

а координаты центра

,

Таким образом, электростатическое поле двухпроводной линии может быть достаточно строго рассчитано теоретически. Сопоставление теоретических расчетов с результатами экспериментального исследования позволяет оценить погрешность моделирования поля на данной модели.

Уместно еще раз обратить внимание на то, что в электростатическом поле силовые линии перпендикулярны поверхностям металлических электродов. B проводящей среде силовые линии поля не перпендикулярны поверхности электродов. Если проводимость материала, образующего электроды, с которых стекает ток, будет во много раз больше проводимости среды, заменяющей при моделировании диэлектрик, то с большой степенью точности можно считать, что силовые линии будут подходить к поверхности электродов практически под прямым углом. При переходе тока из среды с проводимостью в среду с проводимостью на границе сред выполняются условия:

.

Если , то угол между вектором и нормалью к границе раздела сред стремится к нулю .

Суть рассматриваемого метода заключается в следующем. Область моделируемого поля изображается проводящим листом, содержащим электроды, конфигурация которых подобна поверхностям проводников моделируемого поля. После подачи на электроды электрического напряжения снимается распределение потенциалов по поверхности листа. Удельная проводимость электродов, как уже отмечалось, должна быть значительно больше удельной проводимости листа. Тогда очертания электродов на листе будут граничными эквипотенциальными линиями.

Поскольку эквипотенциальные и силовые линии в любой точке поля пересекаются под прямым углом, то по снятым эквипотенциальным линиям силовые линии могут быть построены графически. При построении силовых линий рекомендуется наносить их таким образом, чтобы вместе с эквипотенциальными они образовывали криволинейные квадраты, то есть ячейки, у которых средняя ширина а примерно равна средней длине b (например, элементы поверхности I и II на рис.1). Тогда по полученной картине поля можно определить напряженность поля в любой точке.

Если между электродами получилось 2n интервалов с равным приращением потенциала , то:

,

и напряженность поля в квадрате с шириной а:

.

Из построенной картины поля можно определить элементарный поток вектора на единицу длины двухпроводной (или какой-либо другой) передающей линии:

,

где b - среднее расстояние между двумя соседними силовыми линиями, которые в математической теории поля называются линиями тока векторного поля.

Если число интервалов между силовыми линиями, называемыми иногда трубками тока, равно m, то:

.

Отсюда, с учетом а b, поток вектора :

.

Последнее соотношение позволяет определить емкость исследуемой линии передачи на единицу длины, поскольку, согласно теореме Гаусса, поток вектора на единицу длины линии равен отношению линейной плотности заряда к электрической проницаемости изоляции

.

Тогда , так как .

Из таблицы соответствия следует, что проводимость на единицу длины при моделировании поля в проводящей среде определяется по формуле:

.

Если при моделировании ставится задача определения емкости моделируемого устройства, то это можно сделать, не снимая картину поля, на основании соотношения:

.

Тогда, измерив сопротивление между электродами модели и зная толщину t проводящего листа, можно найти и по известным g и определить С.

Элемент поверхности проводящего листа можно приближенно рассматривать, как поверхностное сопротивление, величина которого рассчитывается по формуле:

,

где l - расстояние между противоположными эквипотенциальными линиями; p - расстояние между линиями тока, ограничивающими элемент поверхности; - удельное поверхностное сопротивление материала.

Если у элемента поверхности (криволинейный квадрат), то . Таким образом, величина поверхностного сопротивления криволинейного квадрата не зависит от его размеров.

Учитывая сказанное, величину измеряют на полоске из того же материала, что и проводящий лист модели (рис.3), и вычисляют по формуле:

,

где U – падение напряжения на длине l_n при пропускании через полоску тока величиной I.

Если число интервалов между крайними линиями равного потенциала 2n, а число трубок тока - m, то сопротивление проводящего листа

.

Удельная проводимость листа определяется соотношением:

U

I

p_n

l_n

Рис.3

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1. Собрать схему (рис.4).

Проводящий лист

Полоска для

определения

r _пов

Регулируемый по

току выпрямитель

Рис.4

Постоянный ток подвести к заданной преподавателем паре зажимов. Установить ток порядка 3 А и поддерживать его постоянным в течение всей работы. Одна из клемм милливольтметра включается к щупу, другая - к одному из заданных зажимов.

2. Определить линии равного потенциала при помощи щупа и милливольтметра: вести острие щупа по поверхности листа таким образом, чтобы стрелка милливольтметра показывала одно и то же значение напряжения. Отметить точки, лежащие на эквипотенциальных линиях, маркером, а затем провести через них эквипотенциальные линии.

При построении следует соблюдать следующие правила:

а). Первая эквипотенциальная линия должна удовлетворять условию к=1. Далее, вторую линию проводят таким образом, чтобы полоса могла быть разбита на целое число криволинейных квадратов в соответствии с числом трубок тока, задаваемых преподавателем. При этом средняя ширина квадрата а должна быть равна средней длине b.

б) Заметив разность потенциалов между двумя полученными линиями равного потенциала, остальные линии строят через эту же разность потенциалов. Последние линии равного потенциала должны быть в непосредственной близости от зажимов, к которым подводится ток.

3. По картине эквипотенциальных линий построить линии тока, имея в виду, что линии тока всегда перпендикулярны линиям равного потенциала в месте их пересечения. Получающиеся ячейки должны быть криволинейными квадратами а b. Полученную картину нанести на кальку.

4. На полученную экспериментальную картину поля тока в проводящей среде нанести линии равного потенциала и линии напряженности, полученные из теоретического расчета для двухпроводной линии, и сравнить их с опытом.

5. Рассчитать теоретически величину угла между нормалью и напряженностью электрического поля в проводящей среде на границе электрод - проводящий лист ().

6. Определить емкость моделируемой двухпроводной линии, считая ее расположенной в воздухе ().

7. Установив ток I и измерив разность потенциалов U между заданными зажимами, определить сопротивление между ними

.

Это же сопротивление рассчитать по построенной картине поля, для чего измерить поверхностное сопротивление одного квадрата металлической полосы методом вольтметра и амперметра. Сопротивление проводящего листа определить по приведённой в описании формуле.

8. По полученной картине поля подсчитать напряжённость электрического поля и плотность тока в заданных преподавателем точках.

Полученные данные оформить по пунктам в виде протокола.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Основные уравнения, описывающие электростатическое поле. Их физический смысл.

2. Основные уравнения, описывающие электрическое поле постоянного тока в проводящей среде. Их физический смысл.

3. При каких условиях электростатическое поле в диэлектриках аналогично электрическому полю постоянных токов в проводящей среде?

4. Что собой представляют эквипотенциальные поверхности двухпроводной линии? Как построить линии тока?

5. Определение напряжённости и плотности тока по картине поля.

6. Теорема единственности.

7. Как рассчитать поток вектора по построенной картине поля в проводящей среде?

8. Определение положения фиктивных заряженных осей при расчёте поля двухпроводной линии.

9. Как определить ёмкость моделируемой двухпроводной линии?

10. Определение сопротивления криволинейного квадрата проводящего листа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. М.: Гардарики, 2001.

2. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Ч.3,4. Л.: Энергия, 1981.

3. Теоретические основы электротехники. Под ред. П.А.Ионкина. М., 1976.

4. Купалян С.Д. Теоретические основы электротехники. М., 1973.

5. Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники. Теория электромагнитного поля. Ч.3. М., 1975.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПОЛЕЙ

МЕТОДОМ ПРОВОДЯЩЕГО ЛИСТА

Методические указания

к выполнению лабораторной работы

по курсу “Теоретические основы электротехники”

Составили

ВОРОЖЕЙКИН Виктор Георгиевич

ЯВЧУНОВСКАЯ Светлана Викторовна

Рецензент С.В.Осипова

Редактор ____________

Лицензия ИД №06268 от 14.11.01

Подписано в печать __.__.08		Формат 60×84 1/16
Бум. тип	Усл. печ. л. _(_)	Уч.-изд.л _
Тираж 100 экз.	Заказ ___	Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054 г.Саратов, ул. Политехническая, 77

Копипринтер СГТУ, 410054 г.Саратов, ул. Политехническая, 77

Дата добавления: 2015-07-10