Система счисления, в которой значение каждой цифры зависит от места в последовательности цифр в записи числа, называется позиционной.

Система счисления (СС) - это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.

В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Система счисления, в которой значение каждой цифры в произвольном месте последовательности цифр, обозначающей запись числа, не изменяется, называется непозиционной.

Хорошо известным примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой роль цифр играют буквы алфавита: І - один, V - пять, Х - десять, С - сто, L - пятьдесят, D - пятьсот, М - тысяча. Например, 321 = СССХХІ. В непозиционной системе счисления арифметические операции выполнять неудобно и сложно.

Система счисления, в которой значение каждой цифры зависит от места в последовательности цифр в записи числа, называется позиционной.

Количество (Р) различных цифр и символов, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Значения цифр лежат в пределах от 0 до Р-1.

В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием Р будет представлять собой ряд вида:

a_m-1a_m-2 … a_0, a _{- 1} … a_-s = a_m-1P^m-1 + a_m-2P^m-2 +...+ a₁P¹ + a₀P⁰ + a _{- 1}P ^{- 1} +... + a_-sP ^{- s}

где нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

· положительные значения индексов - для целой части числа (m разрядов);

· отрицательные значения - для дробной (s разрядов).

Общепринятой в современном мире является десятичная позиционная система счисления. Например, в десятичной системе счисления

30678,45 = 3*10⁴ + 0*10³ + 6*10² + 7*10¹ + 8*10⁰ + 4*10 ^{- 1} + 5*10 ^{- 2}

Здесь 10 служит основанием системы счисления, а показатель степени - это номер позиции цифры в записи числа (нумерация ведется, начиная с нуля), т.е. разряд.

Наиболее распространенной и основной для представления чисел в памяти компьютера является двоичная система счисления. Для изображения чисел в этой системе необходимо две цифры: 0 и 1. Эта система счисления близка к оптимальной по экономичности, кроме того, таблицы сложения и умножения в этой системе элементарные:

+				*

Для сокращения записи адресов и содержимого оперативной памяти компьютера используют шестнадцатеричную, состоящую из 16 символов — 10 цифр и 6 латинских букв: А, В, С, D, E, F и восьмеричную (цифры от 0 до 7) системы счисления.

Для отладки программ и в других ситуациях при программировании существуют алгоритмы (правила) перевода чисел из одной системы счисления в другую.

В таблице 1 (см. ниже) приведены первые 16 натуральных чисел записанных в десятичной (10), двоичной (2), восьмеричной (8) и шестнадцатеричной (16) системах счисления.

			A
			B
			C
			D
			E
			F

Таблица 1.

Если основание новой системы счисления Q равняется некоторой степени старой системы счисления P (т.е. Q = Pⁿ ), то правила перевода достаточно просты (смотрите алгоритмы 1, 2). Например, при P = 2 и Q = 16 (или Q = 8),т.е. 16 = 2⁴ ; 8 = 2³ алгоритмы следующие:

Алгоритм 1. Нужно сгруппировать (справа налево для целой части числа и слева направо для десятичной части числа) разряды в количестве, равном показателю степени и заменить эту группу разрядов соответствующим символом новой системы счисления (из таблицы 1).

Этим алгоритмом удобно пользоваться при переводе числа из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную.

А именно, из двоичной записи числа нужно выделить триады (в восьмеричную) и тетрады (в шестнадцатеричную) влево и вправо от десятичной запятой (или точки).
В случае необходимости неполные триады и тетрады дополняются нулями.

Например, 1011100₂ = 01011100 =5C₁₆, 1111110,110001₂ = 001111110, 110001 ₂ =176,61₈ .

Перевод чисел из восьмеричной или шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему происходит по обратному правилу:

Алгоритм 2. Один символ старой системы счисления заменяется группой разрядов новой системы счисления, в количестве равном показателю степени новой системы счисления (используется также таблица 1).

Например, 472₈ = 100111010 = 100111010₂, B5,E₁₆ = 10110101, 1110 = 10110101,1110₂

В противном случае (т.е. Q ¹ Pⁿ ) для перевода чисел из системы счисления с основанием P в систему счисления с основанием Q, используя арифметику новой системысчисления с основанием Q, нужно:

Дата добавления: 2015-07-12