Сети вихрей – скелетон фазы скалярного поля 3 страница

Таким образом, независимо от типа рассеивающего объекта и способа его освещения вероятность одновременного равенства нулю всех компонент поля в произвольной точке пространства стремится к нулю. Поэтому точку нуля амплитуды и соответственно линию нуля как функцию трех координат в пространстве можно вводить только для отдельно взятой компоненты поля.

Отметим, что гипотетично можно предположить вариант поля сразу за объектом, при котором коэффициенты в выражении (3.7) для - и -компонент не являются независимыми (например, освещение объекта первого типа циркулярно поляризованным светом). В такой ситуации, в некоторой точке пространства нуль амплитуды для - и -компонентполя будет достигаться одновременно и суммарное поле в окрестности такой точки будет определяться только -компонентой поля. Однако в любом случае можно утверждать, что в статистических когерентных полях абсолютный нуль амплитуды поля не достигается.

Рассмотрим более подробно поле вблизи точки «нуля» амплитуды, возникающего в рамках скалярного приближения для однородно поляризованной волны. Как показано в [5; 7; 8], при приближении к точке нуля амплитуды модуль градиента фазы поля неограниченно возрастает, что в свою очередь приводит к резкому изменению направления волнового вектора и полной его неопределенности в точке нуля амплитуды. Однако волновой вектор определяется всеми тремя компонентами поля и соответственно его ориентация и величина определяется -компонентой поля. Более того, при приближении к «нулю» амплитуды, определяющая роль ненулевых компонент увеличивается независимо от соотношения между средними модулями амплитуд , , . Поскольку пространственный масштаб модуляции поля для различных компонент соизмеримый, то можно утверждать, что скорость изменения волнового вектора (его ориентации) в точке «нуля» амплитуды соизмерима со скоростью изменения волнового вектора в любой другой точке поля.

3.1.2. «Абсолютный» нуль интенсивности как модель оптической сингулярности

Очевидно, что при рассмотрении физических ситуаций, которые можно считать адекватными проявлениям абсолютного нуля амплитуды поля, к ним можно подходить, исходя из следующих, в некоторой мере, тривиальных соображений: физическая ситуация будет восприниматься исследователем как ситуация, адекватная абсолютному нулю амплитуды, если используемые им методы исследования поля не дают возможности отличить реальную ситуацию от поведения поля в окрестности абсолютного нуля амплитуды.

Естественно, что такое утверждение является справедливым и для других нереализуемых оптических сингулярностей, например, краевой дислокации скалярного поля или вихря с топологическим зарядом по модулю большим чем единица и т.д.

Для физической ситуации, адекватной наличию в поле абсолютного нуля амплитуды, сформулированное утверждение может быть уточнено:

1. Очевидно, что для объектов второго типа, преобразующих поляризацию облучающего пучка (по крайней мере, и соизмеримы между собой), такая физическая ситуация возникает, когда в некоторой точке наблюдения трехмерные линии нулей всех трех компонент поля сближаются на расстояние соизмеримое с пространственной разрешающей способностью измерительного прибора, с помощью которого анализируется поле. Очевидно, что предельная величина, на которую могут сойтись нулевые линии, и при этом позиции нулей компонент могут быть идентифицированы как различные, сравнима с длиной волны излучения. В такой ситуации никакими оптическими способами, использующими ту же длину волны, невозможно отличить образовавшуюся полевую структуру от структуры, возникающей в области «абсолютного» нуля. Вероятность сближения всех трех линий нулей на расстояние, соизмеримое с разрешающей способностью (длиной волны) является конечной величиной и может быть оценена с помощью результатов, полученных в [8].

Естественно, что, учитывая статистическую независимость компонент поля, стабильность таких образований во френелевской зоне невелика. Поэтому «абсолютний» нуль в этой области распространения волны является «точечным» дефектом. При этом, чем ближе к зоне Фурье, тем больше продольные размеры такого образования, и на достаточно большом расстоянии от объекта, в зоне, где распространение поля сводится практически к его масштабному преобразованию, можно говорить о возможности существования «линий абсолютного» нуля векторного поля. Однако необходимо отметить, что вероятность образования такой структуры достаточно мала, а их количество несоизмеримо меньше, чем количество нулевых линий, отождествляемых с компонентами поля.

2. Несколько иная ситуация складывается для рассеивающих объектов, не преобразующих поляризацию облучающего пучка.

Пусть в некоторой точке основная компонента (или компоненты, если поляризация облучающего пучка эллиптическая) поля достигает нуля. Суммарное поле в окрестности такой точки определяется ненулевыми компонентами. При соответствующих соотношениях между , , и расстоянии до зоны наблюдения поперечные размеры такой окрестности соизмеримы с пространственной разрешающей способностью измерительного прибора (длиной волны излучения). При этом с возрастанием размеры окрестности уменьшаются, поскольку отношение средних интенсивностей основной и неосновной компоненты (компонент) постоянно уменьшается. В предельном случае (размеры области «абсолютного» нуля сравнимы с длиной волны излучения) можно утверждать, что в этой окрестности никакими оптическими способами, использующими ту же длину волны, невозможно определить поле, соответствующее неосновным компонентам.

В рамках этих соображений можно утверждать, что, начиная с некоторого расстояния , в пространстве существуют лини абсолютного нуля, соответствующие линиям нуля основной компоненты поля.

3.1.3. Поляризационная модуляция поля в окрестности «абсолютного» нуля амплитуд

Рассмотрим поведение характеристик поля в области, в которой реализуется модель абсолютного нуля векторного поля.

Перейдем к локальной системе координат, в которой ось направлена вдоль нормали к результирующему волновому фронту. В такой системе координат присутствуют только две компоненты амплитуды поля. Начало локальной системы координат разместим в точке нуля амплитуд, плоскость совпадает с плоскостью колебания результирующего вектора напряженности электрического поля (см. рис. 3.1.). Такое преобразование может быть осуществлено простым поворотом локальной системы координат . В системе координат компонента поля равна нулю. Можно показать, что и в этой системе координат поле в малой окрестности произвольной точки также описывается соотношениями типа (3.7). Коэффициенты при , и нулевые члены также статистически независимые величины. Для простоты будем обозначать их теми же индексами.

Тангенс фазы компоненты в окрестности нуля амплитуды запишется в виде

. (3.11)

Выражение (3.11) – тангенс фазы вихря компоненты в зоне ядра вихря.

Для простоты предположим, что в зоне ядра вихри компонент – изотропные вихри. Можно показать, что в случае анизотропных вихрей общие закономерности поляризационной модуляции существенно не зависят от отличия фронта таких вихрей от «идеального» геликоида.

1. Предположим, что знаки вихрей, ассоциируемых с - и -компонентами поля одинаковые. Тогда разность фаз между компонентами равна для каждой точки окрестности. Это означает, что в окрестности нуля поле поляризационно-однородное. Поляризация в общем случае эллиптическая. Эксцентриситет эллипса зависит как от разности фаз, так и от соотношения модулей амплитуд компонент и . Характерное поведение поля в окрестности нуля иллюстрируется рис. 3.2 а.

2. Знаки компонентных вихрей разные. Разность фаз между компонентами соответственно равняется, с точностью до знака, . Поведение поля в окрестности нуля в этой ситуации иллюстрируется рис. 3.2 b (для определенности ). Вдоль линий, выходящих из точки нуля под углами и , поляризация линейная. Вдоль линий под углами и – поле поляризовано циркулярно. В промежутках между этими значениями поле поляризовано эллиптически.

Можно показать, что в случае, если геликоидальный фронт отличается от идеального, будет наблюдаться определенное изменение эксцентриситетов эллипсов, пространственное смещение характерных направлений (вдоль которых поляризация линейна или циркулярна). Однако общие тенденции поведения поля в окрестности нуля амплитуд остаются без изменений.

Поскольку в этом параграфе мы рассматриваем поведение поля в окрестности модельных сингулярностей, то проанализируем также ситуацию, когда в компонентах поля реализуются краевые дислокации.

В этом случае и возможны три следующих реализаций параметров поля:

а) при ;

b) при ;

c) при , или .

Детальные иллюстрации поведения поля в случае компонентных краевых дислокаций приводить не будем, рассмотрим лишь случай, когда в компонентах и краевые дислокации направлены перпендикулярно одна к другой. Тогда поле компонент описывается соотношениями:

. (3.12)

В общем случае поле при обходе точки нуля также эллиптически поляризовано. Вместе с тем, эксцентриситет эллипсов меняется в соответствии со значением . Характерный тип поведения поля иллюстрируется рис. 3.3 a. Для того, чтобы подчеркнуть, что при обходе точки нуля на фаза излучения изменяется на противоположную, тут и далее для линейной поляризации указано только одно направление колебания вектора поля. Различное направление стрелочек коллинеарных векторов соответствует тому, что поля в этих точках находятся в противофазе. Интересным является случай, когда . Тут поляризация в окрестности точки нуля линейная, а вектор поля осуществляет поворот на при обходе точки нуля (рис. 3.3 b).

В заключение отметим, что представленный набор поляризационных ситуаций в окрестности абсолютного нуля поля далеко не исчерпан. Возможны комбинации краевой и винтовой дислокаций, разнообразные реализации краевых дислокаций и т.д.

3.2. Дисклинации. Поляризационные сингулярности

Отметим, что в силу векторной природы электромагнитного поля, необходимо четко различать поле общего вида и поле, которое может быть описано с помощью параксиального приближения. Как показано в [3; 64 – 66; 73], системы сингулярностей для этих случаев различны.

Поэтому в дальнейшем будем считать, что рассматриваемые нами поля подчиняются параксиальному приближению. Для такого типа полей можно выделить временные нулевые сингулярности – дисклинации, множества точек в которых компоненты поля принимают нулевое значение в определенный момент времени [3; 65]. Существование подобных структур легко представить, обратившись к рисунку 3.4.

Предположим, что преимущественное направление распространения поля совпадает с осью и в силу параксиального приближения -компонентой поля можно пренебречь. Пусть в некоторой точке поле поляризовано линейно. Разложим поле на ортогональные линейно поляризованные компоненты в соответствии с базисом, изображенным на рисунке. Как следует из рисунка, -компонента тождественно равна нулю. Иными словами, для компоненты в точке наблюдается вихрь. В то же время компонента дважды за период колебания обращается в нуль. Таким образом, именно в эти моменты времени суммарная амплитуда поля равна нулю, т.е. в точке наблюдается дисклинация.

Заметим, что в точке с эллиптической поляризацией поле никогда не принимает нулевого значения. Отсюда можно сделать вывод, что место жизни дисклинаций – точки поля, где оно поляризовано линейно. Достаточно просто показать, что в силу непрерывности поля такие точки образуют в плоскости замкнутые односвязные линии (в трехмерном пространстве поверхности), отделяющие области с разным направлением поляризации (см. рис. 3.5). Эти линии будем называть -контурами (в пространстве -поверхностями) [3].

Возможность существования дисклинации на -контуре не налагает никаких ограничений на азимут поляризации в каждой его точке. Более того можно утверждать, что азимут линейной поляризации непрерывно меняется вдоль -контура, поскольку в противном случае пришлось бы допустить возможность существования для одной из поляризационных проекций поля краевой дислокации – поверхности, в каждой точке которой поле проекции равно нулю. Однако, как было показано в п. 2.3, существование таких дефектов поля невозможно.

Длина -контуров в общем случае может меняться от нуля (вырожденный случай, когда -контур преобразуется в точку) до бесконечности, а средняя длина -контура зависит (как будет показано далее) от преимущественной поляризации векторного поля. В частности, для абсолютно случайного поля (глобально деполяризованного c Гауссово-распределенными характеристиками [74 – 76]) возможна лишь структура -контуров (рис. 3.5 а), когда область с определенным направлением поляризации (или несколько таких областей) вкладывается в область с другой поляризацией, в свою очередь ограниченную областью, в которой направление вращения вектора напряженности поля снова меняет свое направление на противоположный и т.д. Образно говоря, для такого поля реализуется структура -контуров типа «матрешка». При этом максимальный размер самой «большой» из них не ограничен. Другой возможный тип структуры -контуров («острова в океане») в таком поле не реализуется, поскольку в этом случае, даже при равенстве площадей, которые будут занимать области с разным направлением поляризации, право- и левополяризованные состояния поля не будут равноправны.

Таким образом, -контура как место жизни дисклинаций представляют собой особую структуру векторного поля. С другой стороны, понятие дисклинации как дефекта поля является фундаментальным только для электромагнитных волн радиодиапазона. Для оптики эти дефекты поля «не существуют» из-за быстрых изменений поля и невозможности прямого измерения амплитуды колебания.

В оптическом смысле, более интересными являются стационарные или «поляризационные» сингулярности векторного поля. Действительно, в каждой точке пространства конец электрического вектора описывает поляризационные эллипсы, параметры которых (азимут поляризации, направление вращения вектора поля ) как функция пространственных координат тоже могут иметь сингулярности.

Для параксиального приближения вводится два основных типа таких сингулярностей [3; 64 – 67; 73; 77 – 86]:

1. К первым относят уже знакомые -контура (в пространстве -поверхности), поскольку направление вращения вектора электрического поля вдоль них неопределенно. Связь -контуров с дисклинациями естественна и есть проявлением того, что все особые множества одной физической величины (например, для скалярного поля фаза и интенсивность, см. п. 2.6) связны между собой.

2. -точки (в пространстве -линии) – точки циркулярной поляризации поля (см. рис. 3.6), в которых поляризационный эллипс вырождается в круг и, соответственно, неопределенным является направление главной оси (азимут) поляризационного эллипса и как следствие значение главной фазы [80], определяющей положение электрического вектора относительно большой оси эллипса [3; 73]. Естественно, что -точку как топологический элемент можно характеризовать двояко:

· топологическим зарядом сингулярности главной фазы (vibration phase):

(3.1)

· и топологическим зарядом сингулярности азимута

, (3.2)

который совпадает с индексом Пуанкаре -точки. В дальнейшем будем называть просто зарядом -точки, а просто ее индексом.

Покажем, что, в отличие от зарядов и индексов скалярных особых точек, эти величины принимают значения, кратные . В частности, при обходе С -точки по замкнутому контуру азимут поляризации осуществляет поворот на угол, равный по модулю [83; 84]. Заметим, что существование -точек, при обходе которых оси эллипсов осуществляют большее количество оборотов, не запрещено, однако такие полевые структуры являются топологически и физически неустойчивыми. Поэтому будем считать, что индекс и заряд -точки могут принимать значения только . В [3; 66] показано, что только три типа поведения эллипсов вокруг -точки возможно (см. рис. 3.7). Эти пространственные распределения эллипсов получили названия: “star”, “monstar” и “lemon” соответственно.

Установим взаимосвязь между величиной и значением . Такое рассмотрение достаточно просто провести, если использовать разложение поля на ортогональные циркулярно поляризованные компоненты. Заметим, что координаты -точки, находящейся в области с определенным направлением поляризации (левым или правым), совпадают с координатами вихря ортогонально поляризованной компоненты. Именно в центре вихря ее модуль амплитуды равен нулю и суммарное поле строго циркулярно поляризовано.

Для фаз лево- и право циркулярно поляризованных компонент выполняются такие соотношения [3; 81]:

, (3.3)

где – главная фаза колебания (vibration phase); – фазы право- и лево циркулярной компонент соответственно.

Предположим, что в некоторой области поля (для определенности области с правой поляризацией) наблюдается -точка. Тогда координаты этой точки совпадают с вихрем левополяризованной компоненты. Исходя из этого, правополяризованная компонента «гладкая» в области анализа, а ортогональная ей компонента содержит сингулярность фазы в -точке. Тогда имеет место система [3]

, (3.4)

где – топологический заряд вихря левой компоненты.

Поскольку , то из (3.2) и (3.3) следует, что:

. (3.5)

Учитывая, что заряд вихря , получаем:

. (3.6)

Если -точка находится в области с левой поляризацией, имеет место система, аналогичная (3.5):

(3.7)

или для области с левой поляризацией

. (3.8)

Соотношения (3.6) и (3.8) можно объединить в одно, если ввести так называемый handedness фактор , равный для области с правой поляризацией, и для регионов поля с левой поляризацией.

С учетом (3.6) и (3.8) перепишется

. (3.9)

Такая взаимосвязь между зарядом и индексом отражает закономерности изменений поля в области - точки не только пространственные (ориентацию эллипсов), но и временные. Например, мгновенная ориентация вектора поля в области с левой (рис. 3.8 a) или правой (рис. 3.8 b) поляризацией может быть реализована только при определенном распределении азимута и главной фазы в области. Разрешенные поведения поля в окрестности -точки иллюстрируются рисунками 3.8 a и 3.8 b и запрещенные рисунком 3.8 c. При поведении поля, подобном изображенному на рис. 3.8 c при пересечении -точки возникает разрыв (скачок характеристик) поля. Другими словами, увеличение (уменьшение) главной фазы при обходе -сингулярности обеспечивает «компенсацию» дополнительного поворота вектора поля, возникающего из-за вращения осей эллипсов в окрестности -точки.

a) b) c)

Рис. 3.8

Иллюстрация временного поведения вектора поля в окрестности -точки.

Изменение площади темных серых областей на рисунках (a) и (b) иллюстрирует поведение азимута поляризации вокруг -точки. Величина светло-серых областей на рисунке (a) указывает, каким образом меняется главная фаза в окрестности -сингулярности. Темно-серые и светло-серые круговые стрелки в нижней части каждого рисунка указывают направление увеличения главной фазы (знак заряда -точки) и поляризационного азимута (знак индекса -точки) соответственно.

Дата добавления: 2015-07-12