Формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня

Рис. 3. Задача Эйлера

Рассматриваем задачу о стержне с двумя шарнирно опертыми концами при действии центрально сжимающей силы (рис. 3).

Дифференциальное уравнение упругой линии балки при малых перемещениях имеет вид:

, (1)

- наименьший момент инерции поперечного сечения стержня (изгиб происходит в плоскости наименьшей жесткости).

При положительном прогибе в выбранной системе координат знак «минус» означает, что момент является отрицательным.

Введем обозначение: . (2)

Уравнение (1) преобразуется к виду:

. (3)

Уравнение (3) – однородное линейное дифференциальное уравнение. Общий интеграл представляется в виде:

. (4)

Постоянные и определяются из граничных условий задачи:

, .

Из первого условия , из второго либо , либо

. (5)

Из (5) следует, что , где - произвольное целое число. С учетом (2)

. (6)

Чтобы центрально сжатый стержень принял криволинейную форму, необходимо, чтобы сжимающая сила была равна какому-либо значению из множества по (6). Наименьшее из этих значений – критическая сила будет иметь место при :

. (7)

Формулу (7) называют формулой Эйлера, а силу - первой критической эйлеровой силы.

Прогиб при

. (8)

Графики функций прогибов при различных будут иметь вид, представленный на рис. 4.

Рис. 4. Графики функций прогибов при различных

Критическая сила зависит от жесткости стержня и его длины, но не зависит от прочностных свойств материала стержня. При других условиях закрепления концов стержня

, (9)

где - коэффициент приведения длины,

- приведенная длина стержня.

Рис. 5. Влияние условий закрепления на величину критической силы

Коэффициент показывает, во сколько раз следует изменить длину шарнирно опертого стержня, чтобы для него равнялась стержня длиной в рассматриваемых условиях закрепления (рис. 5).

Дата добавления: 2015-07-10