Описание лабораторной установки. Распределение температуры Т вдоль нагреваемого с одного конца стержня

Теория

Распределение температуры Т вдоль нагреваемого с одного конца стержня, ось которого совпадает с осью Х, дается решением дифференциального уравнения вида:

, (1)

причем

. (2)

Здесь Т₀ – температура окружающего стержень пространства,

– коэффициент теплоотдачи,

Р – периметр поперечного сечения стержня,

S – площадь поперечного сечения стержня,

l – искомый коэффициент теплопроводности.

Это уравнение может быть выведено из следующих соображений. Рассмотрим отрезок стержня длиной dх. Количество тепла, проходящего через стержень сечением S (сечение соответствует точке х), будет:

.

Количество тепла, проходящего через сечение, соответствующее точке х+dх, равно:

.

Через боковую поверхность отрезка стержня теряется количество тепла:

.

При стационарном процессе , т. е.

.

Разлагая это выражение в ряд и пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, можем написать

,

откуда

;

обозначая

,

получим:

.

Решение уравнения имеет вид:

.

Полагая, что при х =0 температура Т=Т₀, а сам стержень бесконечно длинный, т.е. при х ®¥, Т=Т₀, получим:

,

откуда

. (2)

Количество теплоты, теряемое стержнем через боковую поверхность

,

что может быть записано в виде:

. (3)

Интегрируя это выражение в пределах от 0 до ¥, получим:

. (4)

Используя уравнение (1), находим, что

. (5)

Подставляя величину a из уравнения (2), получаем окончательно:

. (6)

Для определения теплопроводности, согласно этой формуле, необходимо знать количество тепла q, отдаваемое стержнем через поверхность при стационарном режиме, температуру нагреваемого конца стержня Т ₁, температуру Т в какой–либо точке стержня нa расстоянии х от нагреваемого конца, площадь поперечного сечения стержня S и температуру окружающей среды Т₀.

Практически, конечно, невозможно иметь бесконечно длинный стержень, однако, чем он длиннее, тем точнее может быть измерена величина коэффициента теплопроводности. Найдем величину ошибки, полагая, что стержень имеет длину l. Из уравнения (3), интегрируя его от х = l до х = ¥, получим:

.

Разделив это соотношение на выражение (4), полученное путем интегрирования того же выражения (3) в пределах от х = 0 до х = ¥, получим:

. (7)

Это выражение и даст величину ошибки, допускаемой при определении теплоты q, когда принимают стержень длины l за бесконечно длинный.

Описание лабораторной установки

В задаче определяется теплопроводность латунного стержня, конец которого нагревается в электропечи (рис. 1).

Рис. 1. Установка для определения коэффициента теплопроводности металлов (электропечь).

Количество тепла, отдаваемого печью в единицу времени, определяется конструкцией установки в нашей работе:

q= 0,24 I₀ U₀ =12,9 Вт,

где I₀ и U₀ – определяемые приборами напряжение на концах обмотки печи и сила тока в цепи обмотки. Температура печи (конца стержня) Т ₁ определяется термопарой. Теплота Q частично идет на создание теплового потока q, обусловленного теплопроводностью стержня, частично в окружающее печь пространство q ₁, так что

Q=q ₁ +q.

Для уменьшения ошибки в определении q необходимо, чтобы величина q ₁ была мала по сравнению с величиной q, для этого печь помещена в специальное устройство. Температура стержня Т измеряется в пяти точках, при этом температура в точке, ближайшей к нагревателю, является температурой печи.

Дата добавления: 2015-07-11