Пояснительная записка. Данный учебный материал – пособие по изучению основы математического аппарата

Данный учебный материал – пособие по изучению основы математического аппарата квантовой механики – теории линейных операторов в гильбертовом пространстве. Пособие рекомендуется использовать при изучении соответствующих разделов односеместровых курсов «Математические методы физики» и «Квантовая механика» для педагогических высших учебных заведений.

В конце каждого параграфа приведены вопросы для проверки усвоения материала и упражнения. Если ответы на вопросы вызывают затруднения, следует вернуться к изучению текста пособия и рекомендованных учебников. Упражнения дополняют содержание учебного материала. Их рекомендуется решать самостоятельно, сверяя затем свои выкладки с предлагаемыми решениями.

Содержание раздела:

Введение

§1. Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции.

1.1. Описание состояний квантовомеханической системы. Волновая функция (амплитуда вероятности).

1.2. Принцип суперпозиции состояний.

1.3. Понятие гильбертова пространства.

Вопросы для самопроверки.

Упражнения.

§2. Операторы квантовой механики.

2.1. Операторы динамических переменных.

2.2. Алгебраические действия с операторами.

2.3. Собственные функции и собственные значения операторов.

2.4. Свойства собственных значений и собственных функций эрмитовых операторов.

2.5. Операторы с непрерывным спектром собственных значений.

2.6. Дельта-функция Дирака.

2.7. Операторы координаты и импульса.

2.8. Соотношение неопределенности.

Вопросы для самопроверки.

Упражнения.

§3. Элементы теории представлений.

3.1. Различные представления волновой функции (различные представления состояний).

3.2. Обозначения Дирака.

3.3. Преобразование операторов от одного представления к другому.

Вопросы для самопроверки.

Упражнения.

4. Задания, для контрольной проверки знаний.

1. Основные понятия: состояние квантовомеханической системы, волновая функция (амплитуда вероятности), статистическое распределение результатов измерений физической величины, стандартные условия, условие нормировки, условие квадратичной интегрируемости волновой функции, принцип суперпозиции состояний, норма функции, пространство Гильберта, оператор (линейный, комплексно-сопряженный, сопряженный, самосопряженный (эрмитов)), сумма операторов, произведение операторов, коммутаторы операторов, собственные значения оператора, собственные функции оператора, спектр собственных значений, вырожденные состояния, кратность вырождения, ортогональность собственных функций, базисные волновые функции, базисные состояния, координатное представление волновой функции, импульсное представление, индекс представления, индекс состояния, оператор в матричной форме, матричный элемент оператора, -функция Дирака.

2. Основные знания: связь волновой функции с вероятностью результатов измерения физических величин, волновая функция свободно движущейся частицы, отличие квантовой суперпозиции от классической, постулаты квантовой механики, уравнение собственных значений, отсутствие флуктуаций и проблема собственных значений, физический смысл собственных значений и собственных функций самосопряженных операторов, коммутаторы операторов и совместно измеряемые динамические переменные, условие полноты (замкнутости) собственных функций эрмитовых операторов, разложение волновой функции по собственным функциям эрмитовых операторов, общий метод вычисления вероятностей результатов измерения, измерение физической величины как скачок системы в собственное состояние оператора этой величины, проблемы нормировки собственных функций оператора с непрерывным спектром, свойства -функции Дирака, различные представления состояния квантовой системы, различные представления операторов физических величин, оператор в собственном представлении, пространство Гильберта как пространство состояний квантовомеханической системы, соответствие математического аппарата теории физическому смыслу рассматриваемых проблем.

3. Основные умения: самостоятельно работать с рекомендованной литературой, определять понятия из п.1, уметь логично обосновывать с использованием математического аппарата элементы знаний из п.2, определять спектр собственных значений оператора динамических переменных и его собственные функции, по заданной волновой функции находить вероятности возможных значений физических величин, при известном состоянии квантовомеханической системы (т.е. при известной волновой функции) определять среднее значение физической величины в этом состоянии, при известной волновой функции квантовой системы в одном представлении определять ее в другом представлении, по известному виду оператора физической величины в одном представлении находить его в другом представлении.

Дата добавления: 2015-07-11