Интегрирование простейших дробей

Рациональной дробью называется функция R (х), представленная в виде

,

где Р (х) и Q (х) – многочлены с действительными коэффициентами.

Рациональная дробь R (x) называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.

Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей следующих четырех типов:

(n > 1 натуральное число);

(n > 1 натуральное число),

где , т. е. корни знаменателя мнимые.

Таким образом, для интегрирования правильных рациональных дробей достаточно уметь: 1) интегрировать простейшие дроби; 2) разлагать рациональные дроби на простейшие.

Пример 1. .

Решение. Заметим, что , т.к. .

Пример 2. .

Решение.

Для интегрирования простейших дробей третьего вида вычисляют, используя замену переменных , откуда ; .

Пример 3. Найти .

Решение. Сделаем замену переменных ; ; ; ; .

Заменив всюду под интегралом на , на , получим

При вычислении воспользовались формулой . Второй из полученных интегралов является табличным, а первый находим подстановкой , откуда ; ; ; . Следовательно,

Задача 1. Вычислить интегралы:

1)

Можно проверить, что интеграл найден верно. Для этого воспользуемся формулой

Ответ: .

2)

Ответ:

3)

Ответ: .

Так находятся интегралы, если есть хотя бы одна нечетная степень и В случае, если имеются только четные степени, интегралы находят с помощью понижения степени по формулам тригонометрии.

4)

Ответ:

5)

Ответ:

6)

Ответ:

7)

Ответ: 2)

Контрольные варианты к задаче 1.

ЗАДАНИЕ. Вычислить неопределенные интегралы:

1. 1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) , 7) .

2. 1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) 7) ,

3. 1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) .

4. 1) , 2) , 3) ,,4) , 5) , 6) , 7) .

5. 1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) 7) .

6. 1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) .

7. 1) , 2) , 3) , 4) ,

5) 6) 7) .

8. 1) , 2) 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) .

9. 1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) .

10. 1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) .

11. 1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) .

12. 1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) .

13. 1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) .

14. 1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) .

15. 1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) .

16. 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) .

Дата добавления: 2015-10-21