Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ, так же как и корреляционный анализ, позволяет выявить влияние одного признака на другой. В отличие от корреляционного анализа факторный признак F, т.е. признак, оказывающий влияние на результативный признак R, имеет слож­ную структуру. Он может состоять из ряда подгрупп, так называе­мых градаций фактора.

Общее число исследуемых элементов выборки называется дис­персионным комплексом и выражается через объем N. В отличие от корреляционного анализа факторный признак может быть выра­жен атрибутивно, т. е. не числом.

Исходные позиции метода основаны на понятии суммы квад­ратов отклонений S вариантов от их средней арифметической:

(3.6)

где Xj — варианты факторного комплекса; х — средняя арифмети­ческая вариантов; и, — частоты; п — объем факторного комплекса.

Установлено, что сумма квадратов отклонений всего комплек­са S_y состоит из двух слагаемых: S_x — суммы квадратов отклоне­ний, обусловленной вариацией исходных данных, т.е. представ­ляет собой вариацию внутри каждой градации фактора, и 5_г — вариации, обусловленной случайностью, т. е. вариация не связана с действием фактора.

В целом все три суммы соответствуют уравнению

S_y=S_x + S_F (3.7)

Величины, входящие в формулу (3.7), определяются по следу­ющим формулам:

N

N

(3.8)

где S_y — общая сумма квадратов отклонений вариантов результа­тивного признака; х,- — варианты результативного признака; N — объем дисперсионного комплекса;

лг ' <³-⁹>

i n_k N

где S_x — сумма квадратов отклонений вариантов результативного признака, обусловленная воздействием фактора; k — объем каж­дой градации факторного признака.

139

(3.10)

где S_t — сумма квадратов отклонений вариантов результативного признака, определяемая воздействием случайных причин; / — количество градаций.

Идея дисперсионного анализа как статистического метода за­ключается в том, что производится сравнение двух сумм квадра­тов отклонений S_x и S_z.

Сравнение осуществляется как выявление статистически до­стоверного различия посредством критерия Фишера.

Если окажется, что различие S_x и S_z статистически достоверно, то сделаем заключение, что факторный признак оказывает суще­ственное влияние на результативный признак. При недостоверно­сти факторный признак оценивается как несущественно влияю­щий на результативный признак.

Градации факторного признака, характеризующие сложность фактора, могут отличаться численно (например, возраст детей, где каждая градация есть интервал возраста: 10... 12, 12... 14 лет и т.д.; объем нагрузки при прохождении заданного расстояния и т.д.) или атрибутивно (программа 1, программа 2 и т.д.).

Если задачи усложняются и факторный признак меняет свою структуру и в качественном отношении, то рассматривают диспер­сионный анализ двух-, трех-, многофакторных признаков и т.д.

Рассмотрим только однофакторный анализ как наиболее про­стой и приемлемый для исследовательской практики ФКС.

Пример 3.3. В качестве результативного признака принима­ется мощность спортивной работы, выражаемая максимальной ве-

Таблица 3.5 Влияние мощности спортивной работы на потребление кислорода

№		1	!•
п/п		Л	Рг
	х,	2,4; 2,6; 2,5; 2,6; 2,3	2,9; 3,0; 3,1; 2,9; 3,0	27,3
	и/
	5>/	12,4	14,9	27,3
	(5>)^2	153,76	222,01	—
	(5>/)^2	30,75	44,4	75,15
	nk	5,76; 6,76; 6,25; 6,76;	8,41; 9,00; 9,61; 8,41;
	Xi	5,29	9,00	75,25

личиной потребления кислорода в 1 мин — х,. Изменение мощно­сти исследуется в зависимости от вида тренировочной нагрузки: fi — непрерывная нагрузка; /•> — интервальная. По каждому виду нагрузки у пяти испытуемых измеряется МПК/мин.

Исходные данные приведены в табл. 3.5.

Определяем суммы квадратов отклонений:

N V Y²

N

I*

N

27,3² 10

= 0,72;

27,3² 10

= 0,(

N 1

y«=E*²-Z

1 = 0,10.

1 1 ⁿk

Принимая во внимание основное уравнение дисперсионного анализа (3.7), приходим к выводу: S_y = S_x + S^ для данного приме­ра составляет: 0,72 = 0,62 + 0,10; т.е. основное уравнение соблюде­но и расчеты произведены правильно.

Теперь следует установить достоверность статистического раз­личия между S_x и S_f С этой целью применим критерий Фишера (см. п. 2.2.6).

Используя критерий Фишера, определяем дисперсии как част­ное от деления сумм квадратов отклонений на соответствующие числа степеней свободы.

Числа степеней свободы определяются следующим образом:

а) для общей дисперсии: k_y = N - 1;

б) для дисперсии, обусловленной фактором: k_x = I- 1;

в) для дисперсии, обусловленной случайностью: £_г = (N - 1) --(/-!) = #-/;

г) для примера 3.3: k_y = 10 - 1 = 9; k_x = 2 - 1 = 1; k_z = 10 - 2 = 8. Находим величины сравниваемых дисперсий:

, _S_X 0,62 __Л ,-

Определим критерий Фишера

о| ₌ 0,62 а² 0,01

141 Задавшись надежностью Р= 0,95 при числах степеней свободы k_x= = 1 и k_z - 8 по таблице Фишера (см. приложение 6), находим граничное значение критерия:

^(0,95; 8; 1) = 5,3.

Статистический вывод. При сравнении оказывается, что F = = 62 > Fjp = 5,3, т.е. различие между сравниваемыми выборками статистически достоверно.

Педагогический вывод. Учитывая статистически достоверное различие между суммами квадратов отклонений, обусловленных фактором (характером тренировочной нагрузки) и случайностью, заключаем, что фактор существенно влияет на результативный признак, т.е. характер нагрузки оказывает большое влияние на мощность спортивной работы, выраженную в максимальном по­треблении кислорода (л/мин).

Приведем пример с численным выражением факторных градаций.

Пример 3.4. Оцените влияние темпа плавания: Т\ - 40 цикл./мин; Т₂ = 50 цикл./мин; 7з = 55 цикл./мин — на шаг плавания jc,- (м).

Исходные данные приведены в табл. 3.6.

Определяем суммы квадратов отклонений:

22 5² ^=42, 57 -££^-«0,38;

S, =42,57-42,52 = 0,05; = S_x + S_t= 0,33 '+ 0,05 = 0,38.

---

Дата добавления: 2015-10-21