Энергии контура

Полная энергия колебательного контура

W = We + Wm, We = C ⋅ u 22= q 22 C, Wm = L ⋅ i 22,

где W_e — энергия электрического поля колебательного контура в данный момент времени, С — электроемкость конденсатора, u — значение напряжения на конденсаторе в данный момент времени, q — значение заряда конденсатора в данный момент времени, W_m — энергия магнитного поля колебательного контура в данный момент времени, L — индуктивность катушки, i —значение силы тока в катушке в данный момент времени.

Собственная частота колебаний в контуре

В идеальном колебательном контуре R =0. Поэтому полная энергия W остается постоянной в течение всего времени колебаний:

W = We + WM = q 22 C + LI 22,

где q и I — мгновенные значения заряда конденсатора и силы тока в контуре. Производная по времени w ′(t)=0 (так как W =const) Следовательно,

(q 22 C + LI 22)′=12 C 2 qq ′+ L 22 II ′=0⇒ II ′=−1 LCqq ′.

Но I = q ′, значит, I ′= q ′′. Поэтому

q ′ q ′′=−1 LCqq ′⇒−1 LCq.

Обозначим 1 LC = w 20, тогда q ′′=− w 20 q или q ′′+ w 20 q =0 — уравнение свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре.

Сравнивая это уравнение с уравнением x ′′+ w 2 x =0, описывающим гармонические колебания, можно сделать вывод: свободные электромагнитные колебания в контуре (при R =0) являются гармоническими.

Решение этого уравнения имеет вид

q = q 0cos w 0 t,

где q — начальное (амплитудное) значение заряда, сообщенного конденсатору; w — собственная циклическая частота свободных электромагнитных колебаний в контуре

w 0=1 LC −−−√=1 LC √.

Так как T =2 πw 0, то T =2 πLC −−−√ — формула Томсона (период свободных электромагнитных колебаний в контуре).

Продифференцировав по времени выражение для заряда, найдем, что

I = q ′=− q 0 w 0sin w 0 t = I 0cos(w 0 t + π 2),

где I 0= q 0 w 0 — амплитудное значение силы тока. Следовательно, сила тока I в колебательном контуре совершает также гармонические колебания с той же частотой w, но по фазе они смещены на π 2 относительно колебаний заряда (рис. 3).

Дата добавления: 2015-10-21