Прямое произведение множеств

Используя понятие кортежа, можно определить ещё одну, очень важную для приложений теоретико-множественную операцию – операцию прямого произведения. Прямым произведе-нием множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех пар, первая компонента каждой из которых принадлежит X, а вторая - Y. Прямое произведение множеств X и Y, рассматриваемых в указанном порядке, обозначается знакосочетанием X ´ Y. Обратим вни-мание, что пока определено только прямое произведение двух множеств. Заметим также, что прямое произведение двух множеств является множеством кортежей длины 2, т.е. множеством пар.

Пример 2. Пусть A = { m, n }, B = { p, q }, C = { s, t }. Тогда A ´ B = {á m, p ñ, á n, p ñ, á m, q ñ, á n, q ñ}; B ´ C = {á p, s ñ, á p, t ñ, á q, s ñ, á q, t ñ}. Далее, (A ´ B) ´ C = {áá m, p ñ, s ñ, áá n, p ñ, s ñ, áá m, q ñ, s ñ, áá n, q ñ, s ñ, áá m, p ñ, t ñ, áá n, p ñ, t ñ, áá m, q ñ, t ñ, áá n, q ñ, t ñ}; A ´ (B ´ C) = {á m, á p, s ññ, á m, á p, t ññ, á m, á q, s ññ, á m, á q, t ññ, á n, á p, s ññ, á n, á p, t ññ, á n, á q, s ññ, á n, á q, t ññ}. Заметим, что (A ´ B) ´ C ≠ A ´ (B ´ C), поскольку эти множества состоят из разных объектов; в частности, их первые компоненты áá m, p ñ, s ñ и á m, á p, s ññ не равны ■

Тем не менее понятие прямого произведения легко распространяется на любое конечное число множеств. Пусть { Х_i } (1 ≤ i ≤ n) - конечное семейство множеств. Прямым произведени-емсемейства множеств называется множество, состоящее из всех тех и только тех кортежей длины n, первая компонента каждого из которых принадлежит X ₁, вторая - Х ₂,..., n -ая - Х_n. Прямое произведение указанного семейства обозначается знакосочетанием X ₁ ´ Х ₂ ´... ´ Х_n, или, короче, . Если в семействе { Х_i } (1 ≤ i ≤ n) все множества одинаковы и равны, например, множеству М, то прямое произведение этого семейства называется n - й степенью множества М и обозначается через М ⁿ. По определению полагают M ¹ = M, M ⁰ = L.

Пример 3. Пусть, как и в примере 2, A = { m, n }, B = { p, q }, C = { s, t }. Тогда A ´ B ´ C = {á m, p, s ñ, á n, p, s ñ, á m, q, s ñ, á n, q, s ñ, á m, p, t ñ, á n, p, t ñ, á m, q, t ñ, á n, q, t ñ}, т.е. это множество кортежей длины 3. Естественно, что A ´ B ´ C ≠ (A ´ B) ´ C и A ´ B ´ C ≠ A ´ (B ´ C) ■

Пример 4. Пусть A = { a, b, c }, B = { p, q }, C = { a, q }. Найти (A × В)× С, A ×(В × С) и A × В × С.

По определению прямого произведения A × В = {á a, p ñ, á a, q ñ, á b, p ñ, á b, q ñ, á c, p ñ, á c, q ñ}, В × С =

{á p, a ñ, á p, q ñ, á q, a ñ, á q, q ñ}. Далее,

(A × В)× С = {áá a, p ñ, a ñ, áá a, p ñ, q ñ, áá a, q ñ, a ñ, áá a, q ñ, q ñ, áá b, p ñ, a ñ, áá b, p ñ, q ñ, áá b, q ñ, a ñ, áá b, q ñ, q ñ, áá c, p ñ, a ñ, áá c, p ñ, q ñ, áá c, q ñ, a ñ, áá c, q ñ, q ñ};

A ×(В × С) = {á a, á p, a ññ, á a, á p, q ññ, á a, á q, a ññ, á a, á q, q ññ, á b, á p, a ññ, á b, á p, q ññ, á b, á q, a ññ, á b, á q, q ññ, á c, á p, a ññ, á c, á p, q ññ, á c, á q, a ññ, á c, á q, q ññ};

A × В × С ñ = {á a, p, a ñ, á a, p, q ñ, á a, q, a ñ, á a, q, q ñ, á b, p, a ñ, á b, p, q ñ, á b, q, a ñ, á b, q, q ñ, á c, p, a ñ, á c, p, q ñ, á c, q, a ñ, á c, q, q ñ}.

Следует обратить внимание на то, что 1-ое и 2-ое множества являются множествами кортежей длины 2, в то время как 3-ье множество является множеством кортежей длины 3 ■

Дата добавления: 2015-10-16