Подгруппа

Перевод

ПОДГРУППА

- подмножество Н группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G. Подмножество Нгруппы Gявляется ее подгруппой тогда и только тогда, когда: (1) H содержит произведение любых двух элементов из H, (2) H содержит вместе со всяким своим элементом hобратный к нему элемент h^-1. В случае конечных и, вообще, периодич. групп проверка условия (2) является излишней.

Подмножество группы G, состоящее из одного элемента 1, будет, очевидно, подгруппой, и эта П. наз. единичной П. группы G и обозначается обычно символом Е. Сама G также является своей П. Всякая П., отличная от всей группы, наз. истинной П. этой группы. Истинная П. нек-рой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе. Сама группаG и подгруппа Еназ. несобственными П. группы G, все остальные - собственными.

Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) П. группы G является П. группы G. Пересечение всех П. группы G, содержащих все элементы нек-рого непустого множества М, наз. подгруппой, порожденной множеством М, и обозначается символом {М}. Если Мсостоит из одного элемента а, то {а} наз. циклической П. элемента а. Группа, совпадающая с одной из своих циклических П., наз. циклической группой.

Теоретико-множественное объединение П., вообще говоря, не обязано являться П. Объединением подгрупп , наз. П., порожденная объединением множеств H_i.

Произведение подмножеств S₁ и S₂ группы G есть множество, состоящее из всевозможных (различных) произведений s₁s₂, где , . Произведение подгрупп Н₁ Н ₂ есть П. тогда и только тогда, когда H₁H₂=H₂H₁, и в этом случае произведение Н ₁ Н ₂ совпадает с объединением подгрупп Н ₁ и H₂.

Гомоморфный образ П.- подгруппа. Если группа G₁ изоморфна нек-рой подгруппе H группы G, то говорят, что группа G₁ может быть вложена в группу G. Если даны две группы и каждая из них изоморфна нек-рой истинной П. другой, то отсюда еще не следует изоморфизм самих этих групп. О. А. Иванова.

ГРУППА

Перевод

ГРУППА

ГРУППА

- множество, на к-ром определена операция, наз. умножением и удовлетворяющая спец. условиям (групповым аксиомам): в Г. существует единичный элемент; для каждого элемента Г. существует обратный; операция умножения ассоциативна. Понятие Г. возникло как обобщение при рассмотрении конкретных групп преобразований (взаимно однозначных отображений разл. множеств на себя). Для преобразований роль умножения играет композиция преобразований, т. е. последоват. выполнение сначала одного из них, а потом второго. Такая операция по определению ассоциативна. Роль единицы играет тождественное преобразование. Любую Г. можно реализовать как Г. преобразований, сохранив при этом внутр. алгебраич. структуру.

Пусть

— произвольная подстановка степени п. Если для некоторого I число отлично от I, то говорят, что подстановка а действительно перемещает число в противном случае говорят, что подстановка а оставляет число I на месте.

Рассмотрим циклическую подгруппу группы состоящую из степеней подстановки а. Если — порядок этой подгруппы, то она состоит из подстановок

причем все эти подстановки различны. Пусть — произвольное действительно перемещаемое подстановкой а число. Обозначим через число, в которое переводит число подстановка . Очевидно, что подстановка а переводит число в число . Если бы оказалось, что , то, применяя к этому равенству подстановку мы получили бы, что т. е. что подстановка а оставляет, вопреки предположению, число на месте. Следовательно, все числа действительно перемещаются подстановкой а. Среди этих чисел имеется не более различных, ибо очевидно, равно Если числами

исчерпываются все числа, действительно перемещаемые подстановкой а, то подстановка а называется циклом и обо-Эначается символом ().

В этом случае все числа различны,

Действительно, если, например, где то, применяя к этому равенству подстановку мы получили бы, что , т. е. что подстановка оставляет число на месте. Но для любого q подстановка переводит число в число , подстановка оставляет число на месте и подстановка переводит число в число Следовательно, подстановка оставляет на месте любое число т. е., согласно условию, любое число, действительно перемещаемое подстановкой а. С другой стороны, любое число, оставляемое подстановкой а на месте, подстановка также оставляет на месте. Следовательно, подстановка оставляет на месте все числа, т. е. что невозможно, ибо

Заметим, что для любой системы различных чисел существует цикл (очевидно, единственный), переводящий число в число число в число число в число и, наконец, число в число . Этот цикл представляется символом

где — все числа из ряда отличные от чисел

Заметим еще, что запись цикла в виде неоднозначна. Именно

т. e. запись цикла можно начйнать с любого действительно перемещаемого им числа. С точностью до преобразований такого рода запись цикла, как легко видеть, однозначна.

Количество чисел, действительно перемещаемых циклом а, называется его длиной. Из сказанного выше ясно, что длина цикла равна его порядку.

Наименьшая возможная длина цикла равна двум. Циклы длины два называются транспозициями. Транспозиция переводит число I в число число j — в число t и оставляет все остальные числа на месте.

Задача. Доказать, что подстановка, действительно перемещающая только два числа, является транспозицией.

Любой цикл длины является произведением транспозиций.

Действительно,

Два цикла называются независимыми, если они не имеют общих действительно перемещаемых чисел. Очевидно, что при перемножении независимых циклов порядок множителей не играет никакой роли (т. е. независимые циклы, как говорят, перестановочны).

Оказывается, что любая не тождественная подстановка является произведением независимых циклов.

Мы докажем это утверждение индукцией по числу s действительно перемещаемых чисел. С этой целью заметим, во-первых, что число s не может быть равно единице. Действительно, если подстановка а переводит число I в число , то число Y она не может оставлять на месте, так как в противном случае два различных числа i к j переводились бы подстановкой а в одно и то же число j. Поэтому . Если , то подстановка является транспозицией, и следовательно, теорема для нее справедлива. Тем самым начальный этап индукции обоснован.

Предположим теперь, что теорема уже доказана для всех подстановок, действительно перемещающих менее s чисел, и рассмотрим произвольную подстановку а, действительно перемещающую s чисел. Пусть — одно из чисел, действительно перемещаемых подстановкой а. Применяя к этому числу изложенное выше построение (т. е. воздействуя на него степенями подстановки ), мы получим числа действительно перемещаемые подстановкой а (см. выше). Пусть первое из этих чисел с положительным номером, совпадающее с числом . Такое число существует, так как, например, число , где — порядок подстановки а, равно числу . Докажем, что числа все различны. Действительно, если, например, то, применяя к этому равенству подстановку мы получим что в силу минимальности числа q невозможно.

Поскольку числа все различны (и , ибо ; см. выше), то мы можем составить цикл

Подстановка оставляет на месте все числа, которые оставляются на месте подстановкой , а кроме того и все числа Таким образом, она действительно перемещает не более s — q чисел и, следовательно, по предположению индукции, разлагается в произведение независимых циклов. Для завершения доказательства остается заметить, что эти циклы независимы и с циклом

Так как каждый цикл разлагается на транспозиции, то из доказанной теоремы следует, что любая подстановка разлагается в произведение транспозиций (уже, вообще говоря, не независимых).

Числа, входящие в независимые циклы, на которые разложена некоторая подстановка, суть числа, действительно перемещаемые этой подстановкой. Каждый цикл разложения состоит из тех чисел, которые перемещаются друг в друга степенями данной подстановки. Таким образом, количество и строение независимых циклов, на которые разлагается подстановка, однозначно определяются этой подстановкой. Другими словами, разложение подстановки в произведение независимых циклов однозначно (с точностью до порядка множителей).

Дата добавления: 2015-09-06