Разностные схемы

Рассмотрим краевую задачу

(1)

(2)

заданную на некотором мн-ве .

Здесь – пространство функций, определенных на ,

– пространство функций, определенных на ,

– пространство функций, определенных на .

– некоторые линейные операторы с соответствующей областью определения.

На мн-ве введем сетку , где – граница мн-ва .

Краевую задачу (1)-(2) аппраксимируют сеточной задачей:

(3)

(4).

где индекс обозначает, что говориться о сетоной функции.

– пр-во сеточных функций, определенных на ,

– пр-во сеточных функций, определенных на ,

– пр-во сеточных функций, определенных на .

На каждом пространстве функций введена норма таким образом, чтобы при стремлении шага сетки к нулю сеточная норма совпадала с нормами в соответствующих пространствах непрерывных функций. Будем считать, что операторы явл. линейными.

Рассмотрим непрерывную функцию , определенную в узлах сетки с указанной областью определения. Функция становится сеточной. В этом случае говорим о проекции непрерывной функции на сетку и обозн. .

Опр. Говорят, что решение сеточной задачи (3)-(4) сходится к решению краевой задачи (1)-(2), если

Опр. Говорят, что разностная схема (3)-(4) аппроксимирует краевую задачу (1), (2) на ее решении, величина:

,

величину наз-т погрешностью аппроксимации.

Опр. Разностная схема (3)-(4) наз устойчивой, если существуют константы , такие, что

, при .

Теорема: Пусть решение разностной схемы (3)-(4) является устойчивой и аппраксимирует краевую задачу (1)-(2) на ее решении. Тогда решение разностной схемы (3)-(4) сходится к решению краевой задачи (1)-(2).

Из теоремы следует, что если исследование на сходимость разностных схем можно проводить в два этапа:

исследовать на аппроксимацию;

исследовать на устойчивость.

Дата добавления: 2015-08-13