Лин. зав-ть и нез-ть векторов.

Опр. Конечная система векторов , (1) над полем Р наз. линейно зависимой, если не все равные нулю такие, что

Система векторов наз. линейно не зависимой, если из Û

Опр. Бесконечная система векторов наз. лин. зав. над полем Р, если лин. зав. какая-нибудь ее конечная подсистема; и ЛНЗ над Р, если " ее конечная подсистема ЛНЗ.

Опр. Пусть - конечная система векторов из V, .

Вектор - линейная комбинация векторов . Лин. комбинация наз. тривиальной, если все и нетривиальной, если

Опр. Система векторв ЛЗ, если $ нетривиальная лин. комбинация, равная 0. Система векторов ЛНЗ, если только тривиальная лин. комбинация этих векторв =0.

Утв. Система (1) при k>1 ЛЗ Û некоторый вектор из этой системы есть лин. комбинация остальных.

1. Базис. Размерность.

Опр. Система векторов пр-ва V наз. базисом, если:

1) она ЛНЗ; 2) произвольный вектор из V линейно выражается через , т.е.

Опр. Лин. пр-во наз. конечномерным, если оно имеет конечный базис.

Лин. пр-во не имееющее конечного базиса, наз. бесконечномерным.

Опр. Лин. пр-во, которое имеет базис из n векторов наз. n-мерным. А n наз. размерностью пр-ва n=dimV.

Теорема1. Если -базис линейного пространства V над полем Р, то всякий вектор a этого пространства единственным образом может быть представлен в виде линейной комбинации

Коэф-ты наз. координатами вектора а в базисе .

2. Линейные операторы.

Опр. Пусть V,W-ЛП над полем Р. отображение f:V®W наз. лин. оператором (гомоморфизмом), если

1) f(a+b)=f(a)+f(b) "a,bÎV; 2) f(aa)=af(a), "aÎV,"aÎP. Или f сохраняет операции сложения и умножения на эл-т Р. Очевидно, что эти два условия эквивалентны 3) f(aa+bb)= af(a)+bf(b)

Опр. Лин. оператор f:V®V наз. лин. оператором пр-ва V (эндоморфизмом).

Дата добавления: 2015-08-13