Декабрь 2012

№69.

Условие: вокруг квадрата описана окружность с центром O, проведены диагонали AC и BD, на дуге CD выбрана точка G, касательная к окружности в точке G пересекает прямые AC и BD в точках H и E соответствено, из E проведена вторая касательная к окружности EF, BF пересекает AC в точке I, HD пересекает окружность в точке K, прямые BK и IG пересекаются в точке L.

Доказать: углы DAF и BLI равны. (н)

№70.

Условие: вокруг квадрата ABCD описана окружность. На дуге BC взята точка E, из D опущен перпендикуляр DF на прямую EC, он пересекает окружность в точке G, отрезки ED и AG пересекаются в точке H.

Доказать: углы HOD,EBC и HFG равны.

№71.

Условие: вокруг квадрата ABCD описана окружность, на меньшей дуге BC взята точка E, прямые b и DC пересекатся в точке. На отрезке OF взята точка G, такая, что углы BGD и EBA равны.

Доказать: углы BGD и EGC равны.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№72.

Условие: вокруг квадрата ABCD описана окружность с центром O проведены диагонали AC и BD. На меньшей дуге BC взята точка E. Отрезок DE и сторона квадрата BC пересекаются в точке F. Прямая, параллельная AB и проходящая через точку F, пересекает сторону AD в точке G. На отрезке AG как на стороне построен квадрат AHKG во внутреннюю сторону, прямая GH пересекает дугу AB в точке L. Отрезки EL и BC пересекаются в точке M. Сравнить углы BOM и ADL.

№73.

Условие: вокруг квадрата ABCD описана окружность с центром O, проведены отрезки BO и CO, на меньшей дуге BC взята точкаE, прямые BE и CD пересекаются в точке F, на отрезке OF взята точка G, так что углы BGD и EGC равны. Прямая CG пересекает сторону квадрату AB в точке H, отрезок HE и сторона BC пересекаются в точке I.

Доказать: OI, AE и BG пересекаются в одной точке.

№74.

Условие: вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность. Прямая, параллельная AC, пересекает боковые стороны треугольника AB и BC в точках G и D

соответственно, прямая+ AD пересекает окружность в точке E, назовём касательную к окружности в точке C как l.

Доказать: прямые l, GD и BE пересекаются в одной точке.

№75.

Условие: на стороне AD квадрата ABCD во внутреннюю сторону построен равнобедренный треугольник AED, являющийся тупоугольным. Диаметр круга AF, на CD выбрана точка G, такая что DF=CG.

Доказать: угол BGE меньше половине угла AED.

№76.

Условие: вокруг тупоугольного равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность с центром O. Около треугольников AOB и BOC описаны окружности и проведена их внешняя общая касательная DE.

Доказать: прямая DO перпендикулярна отрезку BE.

№77.

Условие: в квадрате ABCD проведена диагональ BC. Проведена биссектриса треугольника ACB-CE. На CD выбрана точка F так, что CE=EF, прямые EF и AD пересекаются в точке G, ортоцентр треугольника CEF-P, прямая GP пересекает BC в точке K.

Доказать: BE=BK.

№78.

Условие: трапеция ABCD с основаниями AC и BD. Стороны AB и CD продолжены до пересечения в точке E, диагонали AC и BD пересекаются в точке O, на отрезках EA и ED взяты их середины F и G. Прямая EO пересекает основания трапеции ABCD-- AC и BD-- в точках I и J соответственно. Прямые JF и GI пересекаются в точке K. Прямая же JF пересекает AC в точке M, а отрезки MG и EJ пересекаются в точке L.

Доказать: отрезки FO,KL и MI пересекаются в одной точке.

...............................................................................................................................................................

Дата добавления: 2015-08-13