Выбор и кодирование факторов

Прежде всего необходимо дать определение фактора. Фактором будем называть измеряемую переменную величину, в некоторый момент времени принимающую определенное значение. Также как и параметр оптимизации каждый фактор имеет область определения, т.е. совокупность всех значений, которые в принципе может принимать данный фактор. Факторы могут быть количественными и качественными, хотя, в принципе, качественным факторам можно дать количественную оценку по определенной шкале.

При выборе факторов необходимо ограничивать область их возможного варьирования. Для каждого фактора устанавливается основной уровень и интервалы варьирования.

Как выбирать факторы? Если при постановке задачи пропустить сильно влияющий фактор, то экспериментальная работа может оказаться не эффективной. Поэтому при планировании эксперимента в его план включают все влияющие, по мнению исследователя, факторы. При их большом числе возникает задача отсеивания незначимых факторов. Вспомним, что необходимое число опытов определяемое по формуле с увеличением числа факторов растет по показательной функции. Возникает ситуация, известная под названием «проклятие размерности».

Для того, чтобы избежать данной ситуации, необходимо ограничить число факторов. Один из способов решения указанной задачи - проведение априорного ранжирования факторов. Такого типа эксперимент проводится путём обработки данных, полученных при опросе специалистов, или на основе данных литературы. Цель эксперимента заключается в сравнительной оценке влияния различных факторов на параметры оптимизации. В результате проводится обоснованный отбор факторов для последующего экспериментального исследования и исключение факторов, влияние которых несущественно.

Априорное ранжирование факторов основано на том, что факторы, оказывающие согласно априорной информации влияние на параметры оптимизации, ранжируются в порядке убывания относительного вклада. Вклад фактора оценивается по величине ранга (места), которое отведено при опросе исследователем данному фактору в степени влияния на параметр оптимизации. Процедура априорного ранжирования заключается в следующем. Каждому специалисту при опросе предлагается заполнить анкету, в которой указаны факторы, их размерность и предполагаемые интервалы варьирования. Необходимо назначить место каждому фактору, включить новые факторы или высказать мнение об изменении интервала варьирования.

В качестве примера в табл. 3.1. показаны результаты опроса 4-х специалистов.

Таблица 3.1

Матрица результатов опроса специалистов

Специалисты	Факторы
j
j=1		10,5	10,5	10,5		2,5	2,5	10,5
						6,5	6,5
		7,5	7,5			4,5	4,5				9,5	9,5
4=m				10,5		10,5	10,5	10,5			5,5	5,5

При планировании эксперимента факторы должны удовлетворять определенным требованиям. Факторы должны быть управляемыми, например, если есть возможность выбрав значение фактора, поддерживать его постоянным в течение эксперимента. Необходимо указать последовательность действий, с помощью которых устанавливаются определенные значения (уровни) фактора, т.е. фактор должен быть операциональным. С указанным понятием связаны также выбор размерности фактора и точность его фиксирования. Степень точности измерения должна быть высокой и зависит в свою очередь от диапазона изменения фактора.

Рассмотрим кодирование факторов. Исследуем влияние двух факторов на результат эксперимента у. Фактор принимает значения 10 и 40, а фактор значения 1 и 5. Так как факторы варьируются на двух уровнях, имеется лишь четыре комбинации факторов, соответствующие вершинам прямоугольника на плоскости (фиг. 3.1).

Перенесём начало координат в центр исследуемой области (в центр прямоугольника). Числовые значения влияющих факторов, через которые проходят после переноса оси координат, называются основными уровнями факторов . В данном примере

.

Крайние, относительно основного уровня, значения факторов называются верхним и нижним уровнями варьирования факторов. Верхний уровень (обозначение «+»)- это значение фактора, откладываемое в положительном направлении оси координат. Нижний уровень - это значение фактора, откладываемого в отрицательном направлении оси координат (обозначение «-»). Обычно для упрощения записи условий эксперимента и обработки данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний уровень значению –1, а основной – нулю. Для факторов, имеющих непрерывную область определения это легко сделать с помощью формулы: , где -кодированное значение фактора, - натуральные значения, - интервал варьирования.

Наряду с уровнями факторов вводятся единицы варьирования l₁, l₂. Для рассматриваемого случая l₁=40-25=15, l₂=5-3=2.

Выбор единиц варьирования определяются условиями протекания конкретных процессов, подлежащих исследованию и оптимизации. Выбор основного уровня факторов соответствует выбору некоторой точки на поверхности отклика, исходной для движения к экстремуму. Рассмотрим его несколько подробнее. Наилучшим условиям, определенным из анализа априорной информации, соответствует некоторая комбинация уровней факторов, которую можно рассматривать как многомерную точку в факторном пространстве. Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня.

Сведения о наилучших условиях обычно являются неполными. Если есть сведения о наилучшей точке но границы неизвестны, остается рассматривать эту точку в качестве основного уровня. Аналогично – если известны границы и наилучшие условия лежат внутри области. Если наилучшая точка лежит близко к границе – основной уровень задается с некоторым сдвигом от нее. Наконец, если имеем несколько эквивалентных точек внутри области, выбор между ними определяется дополнительными соображениями.

Условия проведения опытов представляют в таблицах.

25; 3

(-)

(-)

(+)

(+)

x₁

x₂

x₁

x₂

10 20 30 40

Фиг.3.1. Схема проведения экспериментов.

Таблица 3.2.

Пример таблицы для условий проведения опытов

	Факторы
Основной уровень (0)	0,40
Интервал варьирования ()	0,15
Верхний уровень (+1)	0,55
Нижний уровень (-1)	0,25

Кодированная система координат позволяет компактно и наглядно записать порядок проведения экспериментов в виде матрицы (плана) экспериментов. Различают планы первого и второго порядка. В планах первого порядка влияющие факторы варьируются на двух уровнях, в планах второго порядка - на трёх уровнях. Планы первого порядка обозначаются (k - число факторов).

ПИ-теорема

Теория подобия – это учение о подобии явлений. Теория подобия позволяет сократить количество переменных, описывающих явление, процесс, объект исследования, вводя обобщенные безразмерные переменные.

Простейшим примером подобия является геометрическое подобие фигур:

Если стороны одной фигуры L₁, L₂, …L_n умножить на коэффициент K_l, чтобы получить размеры сторон L¢₁, L¢₂, …L¢_n другой фигуры, то можно получить серию геометрически подобных плоских фигур, объединены в определенную группу. Для этих фигур коэффициент K_l называют критерием подобия.

Такой способ применения подобия может быть использован не только для плоских фигур, но и для разных физических величин: времени К_τ= τ₁/τ₂ , давления К_р= р₁/р₂ , вязкости К_µ= µ₁/µ₂ и т.п. Критерии подобия выделяют среди данного класса явлений, описываемых одинаковыми дифференциальными уравнениями, группу подобных явлений (процессов) через преобразования условиями однозначности в условия подобия систем. Все явления, входящие в одну группу с одинаковыми значениями критериев однозначности, подобны и отличаются только масштабом.

Таким образом, любое дифференциальное уравнение описывает широкую группу подобных и неподобных явлений. Это же уравнение с одинаковыми граничными условиями и критериями подобия описывает подобную группу явлений. В безразмерном виде и дифференциальные уравнения и граничные условия имеют одинаковый вид, отличаются лишь значениями безразмерных коэффициентов (являющихся критериями подобия) при членах математических выражений. Решение отыскивается в виде зависимости результата исследования от этих безразмерных коэффициентов, критериев подобия. Если уравнение и граничные условия не записаны в безразмерном виде, то решение будет применимо лишь для анализа частного случая, для ряда подобных явлений.

При планировании экспериментов, анализе и обобщении полученных результатов экспериментов широко используется теория подобия.

Три теоремы подобия:

1. Два физических явления подобны, если они описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и имеют подобные (граничные) условия однозначности, и их определяющие критерии подобия численно равны.

2. Если физические процессы подобны, то критерии подобия этих процессов равны между собой.

3. Уравнения, описывающие физические процессы, могут быть выражены дифференциальной связью между критериями подобия.

p-теорема подобия:

«Если существует однозначное соотношение f(A₁, А₂, … A_i …, А_n) = 0 между n физическими величинами, для описания которых используется k основных единиц, то существует также соотношение

между (n — k) безразмерными комбинациями (критериями подобия), составленными из этих физических величин.

Ван Дрист предложил модифицированную p-теорему:

«Число безразмерных комбинаций полной системы равно общему числу переменных минус максимальное число этих переменных, не образующих безразмерной комбинации».

Выбор выражений безразмерных комплексов не прост, они должны отражать физический смысл исследуемого явления, процесса.

Дата добавления: 2015-08-10