Нормальное распределение

Для основательного изучения вопроса рекомендуется учебное пособие: Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1972. -368 с.

Напомним, что меру объективной возможности того, что произойдёт событие А, называют его вероятностью Р(А). Если провести N испытаний и определить количество К исходов с осуществлением события А, то величина будет частность ю, которая является оценкой вероятности Р(А).

Дискретная случайная величина задаётся перечнем её возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим, так как его нельзя применить для непрерывных случайных величин.

С целью задания любых типов случайных величин вводят интегральные и дифференциальные функции распределения.

Пусть х - действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Х примет значение меньше х обозначим через F(x). Тогда интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е. . Полученное равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Случайная величина непрерывна, если её интегральная функция распределения F(x) непрерывно дифференцируема.

Из определения интегральной функции как вероятности вытекают следующие свойства: значения интегральной функции принадлежат отрезку ; F(x) - неубывающая функция, т.е. ; если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то:

F(x)=0

при

;

F(x)=1

при

.

Следствия: вероятность того, что случайная величина примет значение, заключённое в интервале , равна приращению интегральной функции на этом интервале, т.е. ; вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определённое значение, равна нулю; если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:

Функцию

где P - вероятность попадания случайной величины Х в интервал называем плотностью распределения непрерывной случайной величины.

Дифференциальной функцией распределения f(x) (или плотностью вероятности р(х)) является первая производная от интегральной функции, т.е. . Следовательно, интегральная функция это первообразная для соответствующей дифференциальной функции.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а,b), следующая:

Результат теоремы означает: вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью х, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и х=b.

Дата добавления: 2015-08-10