Сферическое движение твердого тела.

Сферическим называется движение твердого тела имеющего одну неподвижную точку. Тело D совершает сферическое движение, относительно

неподвижной точки О (рис. 1). Точки тела D движутся по сферам с центром в точке О.

Для характеристики сферичес-кого движения тела введем две ортогональные системы отсчета c началом координат в неподвижной точке О: неподвижную ОХУZ и под-вижную Охуz, связанную с телом D и движущуюся вместе с ним относительно точки О. Прямая OK являющаяся линией пересечения плоскости ХOУ с плоскостью хOу, называется линией узлов.

Положение подвижной системы Охуz относительно неподвижной ОХУZ можно задать с помощью углов Эйлера: угла прецессии , угла собственного вращения и угла нутации . Следовательно, для задания сферического движения твердого тела необходимо задать углы Эйлера как функции времени:

. (1)

Уравнения (1) называются уравнениями сферического движения твердого тела.

При изменении только угла тело D будет вращаться вокруг оси ОZ с угловой скоростью ; при изменении только угла тело D будет вращаться вокруг оси Оz с угловой скоростью ; при изменении только угла тело D будет вращаться вокруг линии узлов ОК с угловой скоростью (рис. 2). При движении тела D все три угла Эйлера меняются одновременно, и результирующее движение будет вращательным движением с мгновенной угловой скоростью

. (2)

Прямая ОР вдоль которой направлен вектор мгновенной угловой скорости результирующего вращения называется мгновенной осью вращения тела.

При сферическом движении тела D мгновенная ось ОР меняет свое положение в пространстве, при этом вектор мгновенной угловой скорости изменяется не только по величине, но и по направлению (рис. 3).

Угловым ускорением тела в момент времени t называется вектор

. (3)

скорость точки А – конца вектора мгновенной угловой скорости

.

Следовательно, при сферическом движении тела вектор углового ускорения в каждый момент времени направляется как скорость конца вектора мгновенной угловой скорости тела и прикладывается в непо-движной точке О (рис. 3 ):

. (4)

Прямая ОЕ вдоль которой направлен вектор углового ускорения называется осью углового ускорения.

При сферическом движении тела направления векторов и не совпадают.

Для определения скорости произвольной точки М тела D проведем из неподвижной точки О в точку М радиус вектор . Тогда

, (5)

поскольку вектор постоянный по модулю, так как расстояние между точками О и М абсолютно твердого тела при движении не изменяется.

Следовательно, при сферическом движении тела скорость любой его точки определяется как её вращательная скорость вокруг мгновенной оси.

Для определения величины скорости точки М опустим из этой точки на мгновенную ось ОР перпендикуляр h_p. Тогда

. (6)

Вектор направлен согласно (5) перпендикулярно плоскости, проходящей через точку М и мгновенную ось вращения ОР в направлении ( h_p рис. 4).

Для определения ускорения точки М тела при сферическом движении вычислим производную по времени от равенства (5):

или

. (7)

Здесь

(8)

называется вращательным ускорением точки М; а

(9)

- осестремительным ускорением точки М.

Следовательно, ускорение любой точки при сферическом движении определяется как геометрическая сумма её вращательного и осестреми-тельного ускорений.

Модули осестремительного и вращательного ускорений определяются по формулам:

; (10)

, (11)

где - величина перпендикуляра опущенного из точки М на ось углового ускорения ОЕ. На рис. 5 вектор осестремительного ускорения направлен согласно (9) из точки М к мгновенной оси ОР (вдоль h_p). Вектор вращательного ускорения согласно (4.8) направлен в точке М перпендикулярно плоскости, походящей через эту точку и ось углового ускорения ОЕ в направлении .

Вектор полного ускорения точки при сферическом движении определяется диагональю параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах. Поэтому модуль определяется по формуле

. (12)

Дата добавления: 2015-08-09