Некоторые особые случаи

Мы рассмотрели, как выглядит произвольный оператор А в представлении другого оператора L. А как будет выглядеть оператор в своем собственном представлении? Что изменится в нашем рассмотрении?

Изменится то, что теперь функции j _i будут собственными функциями оператора A, отвечающими собственным значениям а_i. Что произойдет с матричными элементами A_mk?

Рассмотрим сначала случай m ¹ k. Все внедиагональные матричные элементы

Останутся только те элементы, для которых m = k, расположенные на главной диагонали. Матрицы такого вида называют диагональными. Чему же будут равны эти матричные элементы? Полагая базис ортонормированным, запишем:

Полученный результат (его можно даже сформулировать в виде теоремы) показывает: оператор в своем собственном представлении диагонален, причем на диагонали стоят его собственные значения.

Матрицы А и В равны, если A_kl = B_kl для всех k и l.

Матрица М * называется комплексно сопряженной М, если (M *) _kl = (M_kl)*.

Транспонированной называется матрица М ^Т, для которой М^Т_kl = M_lk, т.е. такая матрица, у которой строки и столбцы меняются местами.

Пусть оператор М – эрмитов. Как будут выражаться матричные элементы матрицы М * через элементы матрицы М?

Эрмитово-сопряженной (или просто сопряженной) матрице М называют матрицу М ⁺, для которой М ⁺ _kl = (M_lk)*. Если М ⁺= М, такая матрица М называется самосопряженной или эрмитовой.

Будут ли вещественными диагональные элементы эрмитовой матрицы?

Будет ли эрмитова матрица симметричной?

Единичный оператор оставляет любую функцию неизменной. Как будет выглядеть его матрица?

Дата добавления: 2015-08-09