Эрмитовы операторы

До сих пор мы лишь упомянули о том, что наши функции могут быть и комплексными, но пока нас это мало волновало. Теперь будет волновать.

Особый интерес в квантовой механике представляют самосопряженные или эрмитовы операторы, для которых

,

Где * означает комплексно сопряженную величину, т.к. и функции, и операторы могут быть комплексными, а интеграл – определенный и берется по всему пространству.

Проверим, будет ли самосопряженным наш оператор дифференцирования, определенный на классе функций f ₁(x) и f ₂(x), обращающихся в 0 на бесконечности:

f ₁(–¥) = f ₁(+¥) = f ₂(–¥) = f ₂(+¥) = 0. Поскольку наш оператор действительный, L * = L.

Сравним интеграл

с интегралом

Здесь мы воспользовались интегрированием по частям, приняв

А что будет, если добавить в наш оператор мнимую единицу ? Как при этом будет выглядеть оператор A *? А вот как: , т.е. .

Проделав те же выкладки (и помня, что мнимая единица – тоже константа), видим, что этот оператор – линейный и самосопряженный.

А теперь – несколько очень важных теорем.

Теорема 1. Собственные значения самосопряженного оператора действительны.

Дано:

1. L j = lj, j – регулярная функция;

2. соответственно, L* j* = l*j*;

3. .

Требуется доказать:

l = l*.

Домножим (1) слева на j* и проинтегрируем:

, где .

То же самое с (2):

.

Но : наш оператор L – самосопряженный, поэтому

, и

l = l*.

Теорема 2. Собственные функции эрмитова оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Дано:

L j _m = l _m j _m,

L j_n = l_nj_n,

l_m ¹ l_n;

Доказать:

Обратите внимание: это доказательство относится только к невырожденным собственным функциям. Однако есть еще одна важная теорема.

Теорема 3. Линейная комбинация собственных функций, принадлежащих одному собственному значению, также является собственной функцией с тем же собственным значением.

Линейной комбинацией функций f ₁, f ₂, f ₃… f_N называется f = c ₁ f ₁ + c ₂ f ₂ + … + c_Nf_N. Мы рассмотрим для простоты случай только двух функций.

Дано: Lf ₁ = l f ₁; Lf ₂ = l f ₂; f = c ₁ f ₁ + c ₂ f ₂.

Доказать: Lf = l f

Lf = L (c ₁ f ₁ + c ₂ f ₂) = c ₁ L f ₁ + c ₂ L f ₂ = c ₁l f ₁ + c ₂l f ₂ = l(c ₁ f ₁ + c ₂ f ₂) = l f

Этот результат мы потом еще используем и «в чистом виде», а сейчас для нас важно другое: в линейной алгебре доказывается, что из набора N линейно независимых функций общего вида всегда можно построить N взаимно ортогональных функций. При этом все они будут решениями нашего операторного уравнения.

Поскольку собственные функции нашего эрмитова оператора определяются с точностью до постоянного множителя, их всегда можно нормировать. Действительно, если , то можно перейти к новым функциям , которые будут собственными функциями того же оператора, и при этом будут нормированными.

Без уменьшения общности можно утверждать, что собственные функции j _m самосопряженного оператора ортонормированны. Это часто записывают так:

или в виде одной формулы:

,

где d _ij – «дельта Кронекера» –

Дата добавления: 2015-08-09