Алгебра множеств

Пусть - некоторое множество, а P () - система всех подмножеств множества .

Непустое семейство , замкнутое относительно операций объединения, пересечения и разности множеств, называется кольцом множеств.

Множество E называется единицей семейства множеств , если и справедливо равенство .

Кольцо множеств, содержащее в качестве своего элемента единицу, называется алгеброй множеств.

Семейство множеств называется полукольцом, если оно содержит пустое множество и если и существуют такие множества , что

где символ означает объединение непересекающихся множеств.

Примеры задач с решениями

Доказать справедливость отношений 1)-8)

Доказать принцип двойственности: C (A U B) = CA ∩ CB, C (A ∩ B) = CA U CB.

Доказать равенства A U (A ∩ B) = A ∩ (A U B) = A.

Доказать равенства: a) CCA = A; б) ; в) .

Доказать справедливость включения .

Определить множества A U B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A Δ B, если:
а) A = { x: 0 < x < 2}, B = { x: 1 ≤ x ≤ 3};
б) A = { x: x ² - 3 x < 0}, B = { x: x ² - 4 x + 3 ≥ 0};
в) A = { x: | x - 1| < 2}, B = { x: | x - 1| + | x - 2| < 3}.

Имеем . Показать, что .

Пусть A = { x: 2 ≤ x ≤ 4}, B = { y: 1 ≤ y ≤ 3}. Изобразить на плоскости xOy множество точек A × B.

Показать, что семейство R, замкнутое относительно объединения и разности, является кольцом.

Показать, что семейство R = {α, Ø}, состоящее из непустого множества α и пустого множества Ø, образует кольцо. Является ли это кольцо алгеброй?

Пусть множество = {α, β, γ} состоит из трех элементов, а P () - семейство всех подмножеств множества .
а) Записать все алгебры, которые можно построить из элементов множества P (), и указать их единицы.
б) Описать все кольца, которые можно построить из элементов множества P ().
в) Описать все полукольца, которые можно построить из элементов множества P () и которые не являются кольцами.

Доказать, что (A ∩ B) × (D ∩ E) = (A × D) ∩ (B × E).

Дата добавления: 2015-08-09