Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Произведение линейных операторов и обратный оператор

Читайте также:
  1. Turbo Pascal. Операторы цикла.
  2. Альтернативный оператор условия.
  3. Векторные дифференциальные операции первого порядка. Оператор Гамильтона. Перечислить векторные дифференциальные операции второго порядка.
  4. Вкладений оператор IF
  5. Воспроизведение
  6. Воспроизведение важных трейдов
  7. ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ И ПЕРЕДАЧА ЕДИНИЦ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН. ПОВЕРКА, КАЛИБРОВКА, МЕТРОЛОГИЧЕСКАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Линейный оператор согласно своему определению – это функция или отображение. Последовательное выполнение двух отображений – это то, что в математике называется сложной функцией, или композицией отображений, или суперпозицией отображений.

Определение. Пусть заданы два оператора и . Произведением или композицией операторов называется новый оператор , действующий по правилу: (запись произведения именно в порядке справа налево: сначала , а потом ).

Предположим, что заданы два оператора и , причем в пространствах , и заданы базисы , и соответственно. Тогда можно определить матрицы операторов и , а также матрицу оператора оператора , где . Тогда (именно в этом порядке!). Другими словами, надо запомнить правило: при перемножении операторов их матрицы перемножаются.

Если все операторы действуют в одном и том же пространстве, то для любого базиса матрица оператора равна .

Определение. Пусть , . Оператор называется обратным к оператору (обозначение ), если и ( и – единичные (тождественные) операторы в пространствах и ).

Лемма 6. Если оператор имеет обратный, то он невырожденный, и область определения и область значения имеют одинаковую размерность.

Доказательство. Если , то , то есть оператор не тождественный. Далее, так как оператор невырожденный, то ранг его матрицы равен n. Это невозможно, если , так как ранг матрицы размером не может быть больше n. Также невозможно , так как обратный оператор тоже невырожденный.

Обычно считается, что , то есть рассматриваются операторы, переводящие пространство в себя. В этом случае можно рассматривать матрицы операторов и в одном и том же базисе . Поскольку матрица тождественного оператора в любом базисе единичная, а при произведении операторов их матрицы перемножаются, то матрица обратного оператора является обратной к матрице исходного оператора: если , то .


Дата добавления: 2015-08-09; просмотров: 127 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Линейный оператор. | Матрица линейного оператора | Связь координат вектора в двух базисах | Собственные вектора и собственные значения |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Невырожденный оператор| Связь матриц одного и того же оператора в разных базисах

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)