Упражнение 31.

Пусть qÎQ, q¹0, rÎR\Q. Докажите, что тогда r+q и r×q – иррациональны. Упражнение 32. Докажите, что между любыми двумя вещественными числами находится иррациональное число.

Упражнение 33. Пусть x>0, y>0, nÎN. Докажите, что

Def. Пусть x>0, qÎQ, . Положим

Упражнение 34. Докажите, что

Упражнение 35. x>1, p,qÎQ, p<qÞx^p<x^q.

Упражнение 36. Для x>1 и вещественного у дайте определение х^у.

Упражнение 37. Докажите, что (1<x)Ù(y<z)Þx^y<x^z; (y>0)Ù(1<x<z)Þx^y<z^y.

Упражнение 38. Сформулируйте аналогичные утверждения (упр. 35-37) и дайте определение степени с вещественным показателем для случая 0<x<1.

Упражнение 39. Докажите основное свойство показательной функции:

x^y+z=x^yx^z.

Упражнение 40. Пусть даны x>0, b>1. Докажите, что $! yÎR, являющееся решением уравнения x=b^y. Это число у называется «логарифмом х по основанию b». Пишут: y=log_bx. Распространите утверждение и определение на случай 0<b<1.

Упражнение 41. Докажите основное свойство логарифма:

log_axy=log_ax+log_ay

Упражнение 42. Обоснуйте формулу замены основания для логарифмов:

log_ax=(log_bx):(log_ba)

Дата добавления: 2015-08-09