Математическая модель

Необходимо сформулировать четыре (по числу параметров) уравнения связи неизвестных функций от z.

Уравнение равновесия получим, рассмотрев равновесие элемента dz. Получаем

. Откуда

. (*)

Для получения физических зависимостей при кручении вернемся к опыту на растяжение и схематизации напряженного состояния.

В принятых координатах в опыте на растяжение имеем следующее напряженное состояние

, т.е.

Рассмотрим площадку, повернутую на угол α относительно оси x. При этом проекции нормали , а проекции полного напряжения . Соответственно , а откуда

.

Рассмотрим возникшие угловые деформации (сумму углов поворота составляющих изначально прямого угла).

Продольная деформация .

Поперечная деформация .

Спроектируем контур ABLB’A на нормаль n-n к отрезку AB’. Получаем

С учетом малости получаем и с учетом выражений для деформаций

.

Для второго отрезка поворотом на 90^о получаем ,

, и, соответственно,

.

Сравнивая последнее выражение с формулой для касательных напряжений, получаем закон Гука при сдвиге (искомое физическое уравнение)

. (**)

где модуль сдвига G выражается через коэффициент Пуассона и модуль Юнга.

Теперь, используя гипотезу плоских сечений, рассмотрим кольцевой элемент круглого сечения с текущим радиусом , бесконечно малой толщины и длиной dz.

Приравнивая длину дуги BB’ из двух треугольников, получаем с учетом закона Гука . откуда .

Элементарный крутящий момент

и, интегрируя по площади сечения, получаем ()

.

Откуда

, (***)

и соответственно касательные напряжения линейно распределены по высоте сечения

. (****)

Задача фактически сводится к решению системы двух линейных дифференциальных уравнений

(*****)

при соответствующих граничных условиях – математическом описании закрепления концов стержня.

По оставшимся двум формулам можно вычислить напряжения и угловую деформацию и провести расчет на прочность.

Матрица напряжений в принятых осях

дает инварианты НС и, соответственно, главные напряжения .

Условие прочности по гипотезе касательных напряжений:

.

По энергетической гипотезе

.

Как видно, разница существенна. Больший запас дает первый вариант.

Таким образом, анализ напряженного и деформированного состояний сводится к решению системы (*****).

Дата добавления: 2015-08-09