Хвильові рівняння

Розглянемо перші два рівняння Максвела:

При розв’язанні цієї системи доцільно використовувати метод підстановки. З цією метою до другого рівняння застосуємо оператор "ротор":

.

Ліву частину цього виразу запишемо в такому вигляді:

,

а в правій його частині замінемо, використовуючи перше рівняння Максвела. В результаті одержимо:

. (25)

Об'єднаємо третє та п'яте рівняння Максвела:

.

Тоді, за рівнянням (25), отримаємо хвильове рівняння для вектора :

, (26)

відоме як рівняння Гельмгольця. Його ліва частина описує хвильовий процес в просторі а права – зміну вектора з часом.

Аналогічним чином, застосовуючи оператор "ротор" до обох частин другого рівняння Максвела, одержимо хвильове рівняння для вектора :

, (27)

яке описує зміну вектора в просторі та часі.

Загальний вигляд хвильових рівнянь спроститься, якщо їх представити в комплексних амплітудах. Запишемо миттєве значення вектора в комплексній формі:

,

тоді перша та друга похідна у часі:

.

Підставимо ці похідні у вираз (3.26) і після скорочення на отримаємо:

. (28)

Вираз у дужках другого доданка є комплексна діелектрична проникність середовища . Тепер вираз (28) набуде вигляду:

. (29)

Аналогічним чином можна одержати комплексну форму хвильового рівняння для вектора :

. (30)

Дата добавления: 2015-08-09