Расчетные формулы для цепей постоянного тока

Методы расчета сложных цепей основываются на применении законов Ома и Кирхгофа. Сложными называют цепи, содержащие произвольное число ветвей n_B, узлов n_У, токов n_Т и заданных источников ЭДС. Расчет заключается в определении токов ветвей.

2.1. Метод контурных токов (метод Максвелла)

Суть метода заключается в следующем. Выбираются независимые контуры (не перекрывающие друг друга) и направления контурных токов I_К в них. Записывается и решается система k алгебраических уравнений в соответствии со вторым законом Кирхгофа для каждого контура (k — число контуров):

где — сумма сопротивлений ветвей, входящих в k контур;

— сумма сопротивлений ветвей, между контурами n и k;

— алгебраическая сумма ЭДС, включенных в ветви, образующие контур k.

Определяются токи ветвей , как алгебраические суммы (разности) соответствующих контурных токов:

2.2. Метод двух узлов

Метод двух узлов используется для цепей, имеющих п ветвей и два узла а и в (например, цепь, представленная на рис. 1.1). Узловое напряжение определяется по формуле:

где — ЭДС находящихся в ветвях;

— сопротивления ветвей, соединяющих узлы а и в.

Ток в i ветви определяется по формуле

2.3. Метод наложения

Ток в любой ветви может быть рассчитан как алгебраическая сумма токов, вызываемых в ней от ЭДС каждого источника напряжения в отдельности. При расчете токов, вызванных каким-либо одним источником ЭДС, другие источники ЭДС замыкаются накоротко.

2.4. Метод эквивалентного генератораt

Для определения тока в произвольной ветви ав с сопротивлением , нужно разомкнуть эту ветвь и часть цепи, подключенную к этой ветви, заменить эквивалентным генератором с ЭДС и внутренним сопротивлением . Расчет ведется любым известным способом. Расчет ведут, полагая, что оно равно входному сопротивлению цепи с закороченными источниками ЭДС относительно ав. Определяют ток в искомой ветви: .

2.5. Преобразование сложных цепей в простые эквивалентные

Замена п последовательно соединенных комплексных сопротивлений эквивалентным, Ом:

Замена п параллельно соединенных комплексных сопротивлений эквивалентным: где

Эквивалентное сопротивление при смешанном соединении сопротивлений складывается из суммы последовательно соединенных сопротивлений и эквивалентного значения параллельно соединенных.

Преобразование треугольника сопротивлений (рис. 2.1, а) в эквивалентную звезду (рис. 2.1, б) и обратное преобразование.

Рис. 2.1. Схемы соединения сопротивлений треугольником (а) и звездой (б)

; ; ;

; ;

где — комплексные сопротивления лучей звезды;

— комплексные сопротивления ветвей треугольника.

2.6. Баланс электрических мощностей цепи

Для любой замкнутой цепи сумма мощностей источников электрической энергии Ри равна сумме мощностей Рп расходуемых в приемниках энергии:

, или

где n — число источников электрической энергии,

т — число приемников электроэнергии.

2.7. Переходные процессы в цепях постоянного тока

В общем случае для цепи, содержащей источники ЭДС е_i, сопротивления R_i индуктивности L_i, и емкости C_i, для определения искомого тока i записывают линейное однородное дифференциальное уравнение в соответствии со вторым законом Кирхгофа для данного контура:

Ток, являющийся общим решением этого уравнения представляют в виде двух составляющих: i(t) = i_ПР(t) + i_СВ(t)

где i_СВ(t) — свободный ток — составляющая, действующая лишь, в переходном режиме;

i_ПР(t) — принужденный ток — составляющая, действующая в установившемся режиме.

Ток i_СВ(t) получают, как частное решение этого уравнения со свободным членом при t = µ.

Ток i_ПР(t) получают как общее решение уравнения без свободного члена.

Приведем примеры решений для некоторых типовых цепей.

Пример 1. Включение цепи, содержащей последовательно соединенные резистор сопротивлением R и индуктивность L, на постоянное напряжение U (рис. 2.2): (1)

Принужденная составляющаятока (2)

Уравнение без свободного члена (3)

Его характеристическое уравнение Lp+R=0; p=-R/L

Общее решение уравнения (3)

Общее решение уравнения (1) (4)

Постоянную А находят из (4), полагая, что i(0-) = 0 в схеме до коммутации и в схеме после коммутации i(0₊) = 0, так как ток в индуктивности не может изменяться скачком при t = 0:

, откуда

Решение уравнения (1) или, полагая (постоянная времени),

Пример 2. При включении цепи, содержащей последовательно соединенные резистор с сопротивлением R и конденсатор С, на постоянное напряжение U (рис. 2.4), ее уравнение имеет вид: u_C(t)+Ri(t)=U

где i(t) — ток в цепи, ;

u_C(t) — падение напряжения на конденсаторе. . (5)

Решение (5) ищется в виде (6)

Характеристическое уравнение для (6) RCp+1=0;

Принужденная составляющая равна .

Решение уравнения (5)

Поскольку в начальный момент t = 0, , то А = - U, следовательно искомое решение:

где t = RC — постоянная времени цепи.

2.8. Расчетные формулы для цепей однофазного тока

---

Дата добавления: 2015-08-18