Свойства определителей

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков.

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий две одинаковые строки, равен нулю.

4. Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента определителя п -го порядка называется определитель п -1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент , т.е. i -й строки и j -го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется произведение:

. (2.3)

7. Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.

(2.4)

(2.5)

Эти формулы называются формулами разложения определителя по i-й строке и по j-му столбцу, соответственно.

В качестве примера запишем формулу разложения определителя третьего порядка по первой строке:

∆ = (2.6)

Заметим, что при использовании формулы разложения определителя по строке (или по столбцу) удобно иметь в этой строке (в этом столбце) много элементов, равных нулю (тогда соответствующие им миноры не надо будет вычислять). Поэтому полезно предварительно так преобразовать определитель, чтобы в одной из строк (или в одном из столбцов) только один элемент остался, отличный от нуля.

Пример2.2. Вычислить определитель четвертого порядка:

.

Решение. Выполним следующее преобразование: умножим второй столбец на (–4) и прибавим его к третьему столбцу. Затем разложим полученный определитель по первой строке. Получим:

.

Умножая первую строку на (–2) и прибавляя ее ко второй строке, затем, раскладывая полученный определитель по первому столбцу, вычисляем:

.

8. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Дата добавления: 2015-08-18