Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Якобиан и его геометрический смысл

Читайте также:
  1. Gt;>> Как я уже говорил. Путь Дзэн-гитары требует, чтобы наша музыка создавала контакты вне нас самих. Но в чем смысл этих контактов? Этот смысл — в единении.
  2. I. Поставьте вместо точек подходящие по смыслу haben или sein. Предложения переведите.
  3. I. Поставьте вместо точек подходящие по смыслу haben или sein. Предложения переведите.
  4. I. Смысл названия
  5. II. Перепишите и переведите предложения. Подчеркните сказуемое, выраженное модальным глаголом с инфинитивом смыслового глагола .
  6. IX. Вставые подходящий по смыслу союз.
  7. IX. Вставьте подходящий по смыслу сокп.

Рассмотрим общий случай замены переменных в двойном интеграле. Пусть в плоскости О ху дана область D, ограниченная линией L. Предположим, что х и у являются однозначными и непрерывно дифференцируемыми функциями новых переменных u и v:

 

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (26)

 

Рассмотрим прямоугольную систему координат О uv, точка Р΄(u, v) которой соответствует точке Р(х, у) из области D. Все такие точки образуют в плоскости О uv область D΄, ограниченную линией L΄. Можно сказать, что формулы (26) устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей D и D΄. При этом линиям u = const и v = const в плоскости О uv будут соответствовать некоторые

линии в плоскости О ху.

 

Рис. 12.

Рассмотрим в плоскости О uv прямоугольную площадку Δ , ограниченную прямыми u = const, u+Δu = const, v = const и v+Δv = const. Ей будет соответствовать криволинейная площадка Δ S в плоскости О ху (рис.12). Площади рассматриваемых площадок тоже будем обозначать Δ и Δ S. При этом Δ = Δu Δv. Найдем площадь Δ S. Обозначим вершины этого криволинейного четырехугольника Р1, Р2, Р3, Р4, где

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Заменим малые приращения Δ u и Δ v соответствующими дифференциалами. Тогда

При этом четырехугольник Р1 Р2 Р3 Р4 можно считать параллелограммом и определить его площадь по формуле из аналитической геометрии:

(27)

Определение 6. Определитель называется функциональным определителем или якобианом функций φ(х, у) и ψ(х, у).

Другая форма записи якобиана:

Переходя к пределу при в равенстве (27), получим геометрический смысл якобиана:

, (28)

 

то есть модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малых площадок Δ S и Δ S ΄.

Замечание. Аналогичным образом можно определить понятие якобиана и его геометрический смысл для п -мерного пространства: если x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un),…, xn = φ(u1, u2,…, un), то

 

(29)

 

При этом модуль якобиана дает предел отношения «объемов» малых областей пространств х1, х2,…, хп и u1, u2,…, un.

 


Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 254 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Геометрический смысл двойного интеграла | Свойства двойных интегралов | Тройной интеграл | Путем сведения его к повторному | В декартовых координатах |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
В трехмерном пространстве| Девизы и названия команды

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)