Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Геометрическая интерпретация напряженного состояния

Читайте также:
  1. B. Динамика состояния окружающей среды
  2. II.1 Общая оценка финансового состояния предприятия
  3. VII. Порядок учета коммунальных услуг с использованием приборов учета, основания и порядок проведения проверок состояния приборов учета и правильности снятия их показаний
  4. XXI. Серологические реакции при сифилисе. Диагностика. Серологический контроль излеченности. Интерпретация серологических реакций
  5. Абсолютного Состояния, до Полного Анализа 1 страница
  6. Абсолютного Состояния, до Полного Анализа 10 страница
  7. Абсолютного Состояния, до Полного Анализа 2 страница

 

Прежде всего дадим геометрическую интерпретацию напряженного состояния изотропного тела, отобразив это состояние в трехмерном пространстве главных нормальных напряжений s1, s2, s3 (рис. 4).

Начало координат соответствует отсутствию напряжений в теле. На осях координат лежат точки, отображающие простое растяжение или сжатие вдоль этих осей. На координатных плоскостях s1s2, s2s3, s1s3 расположены точки, отображающие плоское напряженное состояние.

Прямая, наклоненная под одинаковыми углами a (cos a = 3-0,5) ко всем трем координатным осям, называется пространственной диагональю или гидростатической осью. Она определяет положение точек, соответствующих гидростатическому состоянию:

s1 = s2 = s3 = P.

 

Единичный вектор h, направленный вдоль гидростатической оси, определяется выражением

h = (i + j + k),

где i, j, k – единичные вектора по направлению осей s1, s2, s3 (рис. 4). Плоскость, проходящая через начало координат (т. О) и перпендикулярная вектору h, называется девиаторной плоскостью.

Так как направление нормали к девиаторной плоскости задается проекциями вектора h на оси координат, то из общего уравнения плоскости, проходящей через рассматриваемую точку с координатами (s1*, s2*, s3*),

A(s1 – s1*) + B(s2 – s2*) + C(s3 – s3*) = 0,

 

где A = i, B = j, C = k, следует, что уравнение такой плоскости имеет вид

s1 + s2 + s3 = 0.

 

Любая точка M трехмерного пространства s1, s2, s3, имеющая координаты s1*, s2*, s3*, изображает некоторое напряженное состояние, характеризуемое главными напряжениями s1, s2, s3 (Рис. 4).

Дадим геометрическую интерпретацию величинам sср и ti. В качестве образа напряженного состояния мы будем рассматривать не точку М, а вектор ОМ, соединяющий начало координат О с точкой М (s1, s2, s3):

ОМ = s1*i + s2* j + s3* k.

 

Если мы разложим вектор OM, характеризующий напряженное состояние, на составляющие MN и ON, параллельную и перпендикулярную гидростатической оси, соответственно, то составляющая MN определится выражением MN = (OM  h)h, где

 

OM·h = (s1*i + s2*j + s3*k)· (i + j + k) =

 

= (s1* + s2* + s3*)/ = sср× .

Следовательно

MN = sср× h = sср(i + j + k),

т.е. проекция вектора напряжений OM на гидростатическую ось пропорциональна величине среднего напряжения sср.

Учитывая выражения для векторов MN и OM, можно записать

ON = OM – MN = (s1*i + s2*j + s3*k) – sср(i + j + k) =

= (s1 – sср)i + (s2 – sср)j + (s3 – sср) k.

 

В последнем выражении величины, находящиеся в круглых скобках, представляют собой главные нормальные девиаторные напряжения

 

s1 = (s1 – sср), s2 = (s2 – sср), s3 = (s3 – sср).

Так как вектор ON по определению перпендикулярен гидростатической оси, то он должен лежать в девиаторной плоскости. Иначе говоря, проекции вектора напряжений OM ( s1*, s2*, s3* ) на девиаторную плоскость равна «вектору девиаторных напряжений » s 1, s 2, s 3. Иначе это можно выразить и так: точка N – проекция точки M на девиаторную плоскость изображает девиаторные напряжения, отвечающие точ-ке M. Любой вектор, принадлежащий девиаторной плоскости, характеризует девиатор напряжений какого-либо напряженного состояния M (s1*, s2*, s3*).

Радиальное расстояние между любой точкой, находящейся на гидростатической оси, и точкой M, расположенной на плоскости, параллельной девиаторной плоскости (в частности, расстояние между точкой O (начало координат) и точкой N, расположенной на девиаторной плоскости, проходящей через начало координат), найдем по известной (раздел курса математики «Аналитическая геометрия в пространстве») формуле

ON = ·[(s1* – s2*)2 + (s2* – s3*)2 + (s1* – s3*)2] / 6 ]0.5 = 20.5·ti.

 

Иначе говоря, радиальное расстояние от гидростатической оси линейно зависит от интенсивности касательных напряжений ti.

Появление вектора ON связано с неравнокомпонентностью напряженного состояния. Совершенно очевидно, что когда рассматриваемая точка M находится на гидростатической оси, то вектор главных девиаторных напряжений ON отсутствует в силу того, что s 1 = 0, s 2 = 0, s 3 = 0.

Так как увеличение радиального расстояния ON означает увеличение интенсивности касательных напряжений ti, то для каждой точки M вектор ON определяет величину девиаторного напряжения, которое вызывает появление сдвигов, т.е. вектор ON определяет условие текучести для данного напряженного состояния.

Так как точка N является проекцией на девиаторную плоскость и любой другой точки, лежащей на прямой MN, то вектор главных нормальных девиаторных напряжений ON = s 1 i + s 2 j + s 3 k является общим для всех точек любой прямой, перпендикулярной девиаторной плоскости. По этой причине если условие текучести выполняется для точки N, то оно будет выполняться и для всех точек бесконечной прямой NM. Все комбинации s 1, s 2, s 3, для которых выполняется данное условие текучести, образуют на девиаторной плоскости кривую текучести. Кривая текучести в девиаторной плоскости является направляющей цилиндра, образующие которого параллельны гидростатической оси. В пространстве главных нормальных напряжений возникает цилиндр текучести.

 

 


Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 81 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Характеристика сил связи в структуре горной породы | Твердая компонента горной породы | Сравнение физических свойств керосина и воды | Пористость и проницаемость горных пород | Аксиомы реологии. Виды идеальных деформаций | Сложные реологические тела | Особенности ползучести горных пород | Реологические параметры, модули деформации и их определение | ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ | Механическая теория прочности Кулона |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Значения обобщенных деформаций| РЕОЛОГИЯ ГОРНЫХ ПОРОД

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)