Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Тема 10. Дифференциальные уравнения второго порядка

Читайте также:
  1. V. Понятие легитимного порядка
  2. VI. Типы легитимного порядка: условность и право
  3. Анализ порядка оценки инвестиционных проектов
  4. Б. Исследование второго типа
  5. Б. Критерий проверки необходимых условий экстремума второго порядка.
  6. Бесконечно малая третьего порядка. Исподлобный. Через парапет
  7. БОГИ НОВОГО МИРОВОГО ПОРЯДКА ЕСЛИ УБРАТЬ ЗАВЕСУ

 

Разберите решения задачи 25–27.

 

Задача 25. Дано уравнение: . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; .

 

Решение:

 

Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию . Положим , где – некоторая функция аргумента . Если , то и данное уравнение примет вид . Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных и . Решим это уравнение:

 

; ;

,

откуда или .

 

Определим численное значение при указанных начальных условиях. Имеем . Следовательно, . Теперь решаем уравнение первого порядка :

;

.

 

Определим численное значение при указанных начальных условиях. Имеем ; .

Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Задача 26. Дано уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; .

Решение:

 

Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента . Положим , – некоторая функция аргумента .

Если

, то . Тогда данное уравнение примет вид

; ; .

Если приравнять нулю первый множитель, то получаем: ; ; – решение данного уравнения.

 

Приравняем нулю второй множитель:

; ; ;

или .

Используя начальные условия, находим :

; .

Далее решаем уравнение :

; .

Теперь определим значение :

; .

Тогда

; и – искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

 

Задача 27. Найти частные решения неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

а) ;

б) .

 


Решение:

 

При решении данных уравнений удобно использовать следующий алгоритм. Если дано неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью где , где – многочлен степени , – многочлен степени . Тогда общее решение уравнения ищется в виде , где – общее решение соответствующего однородного уравнения, – какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

1. Чтобы найти - общее решение соответствующего однородного уравнения составляем характеристическое уравнение , при решении которого возможны следующие случаи:

1) уравнение имеет действительные различные корни , тогда , где и - произвольные постоянные;

2) уравнение имеет действительные равные корни , тогда , где и - произвольные постоянные;

3) уравнение имеет комплексные корни и , тогда , где и - произвольные постоянные.

2. Если правая часть уравнения имеет специальный вид , где – многочлен степени , – многочлен степени , тогда частное решение ищется в виде: , и – многочлены степени , , а – кратность корня характеристического уравнения .

При составлении частного решения удобно использовать следующую таблицу:

 

Степень многочлена Вид многочлена Вид многочлена
=0
=1
=2
=3

 


Решение:

 

а) .

Общее решение данного уравнения имеет вид: .

Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: . Корнями этого уравнения являются и . Т.к. решения действительные различные числа (первый случай), то или .

Теперь найдём . Правая часть имеет специальный вид, причём =2, =0, значит , =0, =0, тогда и , таким образом =1.

Получаем: , так как , =1, =0, то ,

. Найдём производные первого и второго порядка от

, .

Запишем , и следующим образом, подписывая слева коэффициенты , и из исходного уравнения:

Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях :

Тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения: . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдём : .

Подставляем начальные условия в и .

отсюда

Тогда – частное решение исходного уравнения.

б)

Общее решение данного уравнения имеет вид: .

Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: , . Корнями этого уравнения являются и . Так как решения комплексные числа (третий случай), то или .

Теперь найдём . Правая часть есть сумма двух функций, имеющих специальный вид: , где и . Тогда .

Рассмотрим . Имеем =0, =0, значит , =3, =0, тогда не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, т.о. =0.

Получаем: , т.к. , =1, =0, то .

Рассмотрим . Имеем =0, =0, значит , =0, =2, тогда не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, таким образом =0.

Получаем: , так как , =1, то

.

Тогда . Найдём производные первого и второго порядка от .

, . Запишем , и следующим образом, подписывая слева коэффициенты , и из исходного уравнения:

Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих подобных слагаемых:

Тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения: . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдём : . Подставляем начальные условия в и .

отсюда

Тогда - частное решение исходного уравнения.


Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 63 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ | А) ; б) ; в) ; г) . | Базовый учебник |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Тема 9. Дифференциальные уравнения первого порядка| Тема 11. Ряды и их приложения

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.015 сек.)