Закон больших чисел 11 страница

Про животных

Больше своего Фэн-Шуй проекта Виктория любила только родных кошек Мурку, Амурку и Гламурку. Первой в её доме поселилась Гламурочка, и связана с её вселением в Викторин дом недлинная история. Виктория Александровна приехала на сессию и снимала комнату в квартире № 13, неподалёку от института. Как-то в пятницу она вернулась домой после лекций и обнаружила сидящую перед дверью чёрную кошечку-подростка, маленькую и чистенькую. Она сидела на коврике перед дверью и доброжелательно, с большим достоинством, мало свойственным дворовым кошкам (без тени страха или заискивания) смотрела на неё. Виктория не смогла устоять перед таким очарованием. Она вынесла в мисочке два куска жареной скумбрии, припасённые себе на ужин, и предложила киске поесть. На мордочке гостьи появилось лёгкое удивление: «что это за добрые самаритяне здесь жареную скумбрию раздают?». Но когда Виктория повторила приглашение, кошка без спешки принялась за еду. Поев, она зашла в квартиру и чудно устроилась на подушке дивана, а Виктория принялась писать объявление (по всему было видно, что кошка домашняя и просто потерялась), о своей находке: «13 февраля, в пятницу, в 13 часов найдена чёрная кошка. Обращаться по адресу: дом 1, корпус 3, квартира 13». Объявление было расклеено по соседним дворам, его читали, веселились, но никто не торопился забрать потеряшку домой. В тот год, Виктория вернулась домой с сессии не одна, а с Гламуркой. Родители не возражали, они были очень довольны, что Виктория привезла с учёбы всего лишь кошку, а не крокодила. От знакомых и друзей они слышали, что барышни, отправленные на учёбу в областной центр часто возвращаются в родные пенаты то с нежданными детьми, то с неподходящим мужем, а то и не возвращаются вовсе. А маленьких брошенных Мурку и Амурку подобрала курица Пеструха и высидела как родных цыплят. За это курицу было решено кормить до старости, а не определять в суп.

Рыженькая и лохматая Амурка всегда была крупным котёнком. Через год у Гламурки появились чёрные с рыжим котята, хотя она и не покидала дома. После недолгого расследования, проведённого Натальей Александровной выяснилось, что Амурка (вымахавшая за лето на мышах и свежем воздухе в здоровую зверюгу 7 кг весом) на деле является Амуром.

У Гламурки родилось 6 котят. Вероятность, что котёнок будет чёрным составляет одну треть. Какова вероятность, что из шести новорожденных котиков ровно три чёрных?

Амура немедленно подарили тёще, Венере Серафимовне. Через пару лет на юбилей тёщи любящая семья заказала её портрет маслом. Портрет, в целях экономии, заказали старому другу Макара Ивановича Игнату Петрову, который по вечерам работал художником в кинотеатре «Кинолог». Он аккуратно копировал афиши из журналов на большие поверхности, а на досуге рисовал на компьютере в стиле магический реализм. Для Венеры Серафимовны он сделал исключение и проявил оригинальность – сработал в технике примитивизма с использованием фотографии. Так появилось эпическое полотно «Венера и Амур». Амуру, кстати, понравилось позировать. Он валялся на коленях любимой хозяйки и его часами никто не беспокоил. Результат был так хорош, что работники хрюпинской художественной галереи пытались перекупить шедевр, но Макар отказался. Мыслимо ли было торговать любимой тёщей!

Сидоров любил животных, особенно свою собаку. Исключение составляла только кошка сестры жены Гламурка. Он никогда не упускал возможности наступить ей на хвост или прижать дверью, когда она оказывалась поблизости. За время Гламуркиной жизни они встретились 3 000 раз, и 3 раза Сидорову удалось выразить свою любовь. Составить закон распределения случайной величины X – количество неудачных для Гламурки встреч с Сидоровым, если встретиться они могут 2000 раз.

Все встречи Макара Ивановича и Гламурки были по-своему незабываемыми. Однажды Гламурка вышла во двор. Погода стояла чудеснейшая. Она отправилась, было, через двор к кустам шиповника, в тенёк, чтобы подремать перед завтраком. Но, вдруг, заметила Макара Ивановича, спускающегося с крыльца, и осознала, что прямо сейчас она переходит ему дорогу. А, наученная опытом чёрной кошки, она знала, что такие переходы плохо кончаются – забегом по двору, уворачиванием от летящих кирпичей и длительным отсиживанием на дереве. На дерево Макар обычно не залезал – берёг брюки. Разве можно переходить ему дорогу – мелькнуло в Гламуркиной голове – надо срочно перейти дорогу в обратную сторону, чтобы ничего худого не случилось. Сидоров мрачно глядел на бегавшую перед ним взад-вперёд Гламурку, и никак не мог сообразить куда бы поставить ногу, чтобы не наступить на неё.

Или, вот ещё: как-то раз, Макар Иванович, вернулся с рыбалки не с пустыми руками, а с пойманной рыбой. Дома был устроен небольшой праздник, а пойманный окунь был разбужен и выпущен в тазик на кухне. Там он и плавал три дня. Окунь обжился в доме Сидоровых, начал любопытствовать, высовываться из таза, и однажды был замечен Гламуркой. Умненькая Гламурка не растерялась и сразу же отправилась на рыбалку. Она несколько раз обошла вокруг тазика, присмотрелась, потрогала воду лапой и нашла её температуру и плотность подходящей. Наконец, он встала передними лапами на край таза и, наклонившись к воде, принялась приглядываться к плавающему окуню. Окунь запаниковал и, от отчаяния, высунулся из воды, открыл рот как можно шире, и укусил Гламурку за мордочку. Кошка отлетела от таза, взвыла и понеслась из кухни. От ужаса она не различала дороги, поэтому с разбега влетела в Сидорова (пробиравшегося к холодильнику за бутербродами) и опрокинула его навзничь. Так они и лежали вдоль коридора в полном недоумении.

Как уже было сказано, Сидоров не любил кошку сестры жены Гламурку, а её вторую кошку Амурку, просто ненавидел. Поэтому при встрече всячески старался их прищемить. Но умные кошки держались от Сидорова подальше и факты кошковредительства были «редкими событиями». Количество таких фактов имело распределение Пуассона с параметрами и , соответственно. Составить закон распределения случайной величины (суммарное число кошачьих обид от рук, точнее ног Сидорова, в доме Виктории Александровны).

Решение. Факты кошковредительства Сидорова имеют закон распределения Пуассона, и формулы для вычисления вероятностей событий и имеют вид:

, . Найдём вероятность суммы :

Полагая , получим: . Сумма независимых случайных величин, распределённых по закону Пуассона, также распределена по закону Пуассона с параметром .

Мыши распределены по огороду Сидоровых равномерно. Три кошки, Мурка, Амурка и Гламурка ловят их там каждую ночь и с утра. Каждая кошка охотится на своей территории. Мурка считает своей половину огорода, а маленькие Амурка и Гламурка по одной четверти. Вероятность того, что Мурка поймает мышь, составляет 0,7; Амурка – 0,4; Гламурка (красивое, но практически бесполезное с точки зрения ловли грызунов создание) – 0,2. Всех пойманных мышей кошки несут в дом и рядами выкладывают в спальне перед кроватью Сидорова (признавая тем самым его за главу дома и вожака стаи). Поэтому часто случалось так, что Сидоров поутру, спустив ногу с кровати, наступал на мышь, заботливо уложенную в тапок и тогда весь дом просыпался не от звона будильника, а от страшных воплей главы семейства. Какова вероятность, что мышь подложила Гламурка?

Наталья Александровна, чтобы повысить уровень гламурности своего быта завела собачку престижной породы (в хрюпинском питомнике из самых престижных пород удалось найти только карликовую пуделиху) и назвала её Валькирия Ред. Когда Валькирия была щенком и портила вещи (ковёр, тапки или хозяйскую пижаму) в её воспитании принимала участие Гламурка лично. Дождавшись, когда кто-нибудь из хозяев окажется поблизости и обратит на неё внимание, киска подходила к собачке и шлёпала её по носу, всё время поглядывая, смотрят ли на неё.

Сидоров любил собак, был настоящим собачником, но в каждом правиле бывают исключения. Всякий раз, когда Макар смотрел на Валькирию Ред, развалившуюся на его любимом диване, он недоумевал: «Как можно так носиться с этим комком свалявшейся шерсти? Какое отношение к этой мелкой четырёхногой животине имеет родословная на 15 страницах и цена 2 тыс. долларов?». Также Макар Сидоров никогда не понимал, как крошечная пуделиха ухитряется занять практически весь диван, не оставляя ему ни сантиметра, чтобы привалиться с газетой – это был явный пространственный парадокс. Поэтому когда Наталья Александровна выдала ему 800 рублей на покупку шампуня для карликовых пуделих, вся его натура возмутилась! Было совершенно невозможно потратить на натальину собачонку больше, чем на его, Сидорова, бальзам и ополаскиватель, вместе взятые. И он прямиком отправился не в собачий салон красоты «Фидель», а на китайский рынок, где видел будку с похожими пузырьками. Будка была на месте, и приветливый продавец продал ему шампунь за 50 рублей. Сэкономленные 750 рублей Сидоров припрятал до лучших времён. Знал бы он, как скоро они ему потребуются! О, если бы он знал, то не пошёл бы на китайский рынок, а бежал от него, как от чумы.

Сидоров вернулся домой. Наталья подозрительно осмотрела пузырёк, принюхалась даже, но Макар клятвенно заверил, что купил его в «Фиделе» и предложил помощь в мытье Валькирии. Ему было позволено стоять с полотенцем на подхвате. Каково же было изумление Натальи Александровны, когда после второго намыливания половина шерсти Валькирии Ред оказалась плавающей в ванне, а не вьющейся на собачьей спине. Когда пуделиху выпустили из полотенца, она оказалась совершенно лысой. Она стояла на своих тоненьких кривеньких ножках, вытаращив глаза, и поскуливала. Наталья Александровна побледнела. Сидоров тоже побледнел, он понял, что ничего хорошего в ближайшее время его не ждёт. Остаток дня Наталья утешала Валькирию, кормила её вкусностями и шила ей комбинезон для прогулок с бантами и лентами. А вот Сидорову, в тот же вечер, пришлось вымыть себе голову всё тем же китайским шампунем без бальзама и ополаскивателя. Шевелюра, которую он холил и лелеял со студенческих лет, покинула его голову в течение пяти минут. Мало того, после второго намыливания, кожа на голове пошла пузырями и отчаянно зачесалась. Наталья Александровна была неумолима, она злорадствовала и приговаривала: «почувствовал, живодёр, каково было собачке, в следующий раз подумаешь, изверг, что делаешь!». Правда утром она несколько смягчилась и предложила Макару свой старый готский чёрный парик. Но Сидоров отказался и отправился на работу в кепке (вот куда пошли 750 сэкономленных рублей) с твёрдым намерением остаться в ней до конца дня . Впервые за 20 лет он что-то нацепил себе на голову. А ведь раньше он даже в тридцатиградусные морозы ходил без шапки, стильно и мужественно! Эх …

Спешно вызванный ветеринар сообщил, что облысение и Валькирии и Сидорова не окончательно. «Со временем, - сказал собачий доктор, - они обрастут шерстью лучше прежнего». Он выписал собаке мазь от дерматита и пару видов таблеток от аллергии (которые сгодились и Макару). Месяца три Валькирия Ред и Макар Иванович гуляли по двору вместе, плешивые и печальные. Это сблизило их и сделало почти друзьями. Наталья Александровна стеснялась показываться на улице вместе с ними. Но, всё проходит, и на четвёртый месяц и Сидоров и Валькирия Ред покрылись первым пухом. А ещё через полгода шерсть на Валькирии и Сидорове отросла настолько, что их отправили подстригаться. Валькирию Ред Наталья Александровна больше не доверила Макару Ивановичу, окончательно разочаровавшись в его умственных способностях (впрочем, она никогда в них не верила). Она сама снесла пуделиху в собачий салон «Фидель», заранее приготовив две тысячи за стрижку, массаж и маску для шерсти. Сидоров же с тремя сотнями рублей в кармане был отправлен в ближайшую к дому парикмахерскую, работавшую под вывеской: «Парикма Чубчик

Херская Кучерявый

и обещавшую потенциальным клиентам, что их «гель после бритья с экстрактом ромашки придаст волосам объём, блеск и улучшит их структуру».

Сидоров не любил утро. Он не был «жаворонком» и когда трещал будильник, больше всего он хотел спать дальше. Поэтому, собираясь на работу, он был рассеян и раздражён. Одеваясь, носки из ящика комода он вынимал наудачу с ещё не открывшимися и непромытыми глазами. Поэтому частенько случалось, что у него на разных ногах носки разного цвета. Ситуация усугублялась тем, что после стирки, Наталья высыпала их в ящик не считая, а собака Сидорова Валькирия Ред (страшно дорогая и породистая карликовая пуделиха) любила погрызть их на досуге за креслом (поэтому некоторые носки лишились пары).

В ящике лежат красные и чёрные носки. Если их ящика наудачу вытягиваются два носка, то вероятность того, что оба они красные составит . Каково минимальное возможное число носков в ящике? Каково минимальное возможное число носков в ящике, если число чёрных носков чётное?

Решение. Пусть в ящике лежит красных и чёрных носков. Вероятность того, что первый носок красный равна . При осуществлении этого события, условная вероятность того, что второй извлечённый носок также красный составит . По условию задачи, вероятность того, что оба носка красные равна , поэтому .

Можно начать с и подобрать подходящее значение , затем перейти к случаю и рассмотреть различные значения и т.д. Можно решить задачу в более общем виде.

При . Отсюда следует, что . Извлекая квадратные корни, для получим . Из первого неравенства получим или . Из второго неравенства находим поэтому . Для получим . Поэтому . При и получим . Таким образом, минимальное число носков в ящике 4.

Рассмотрим случай, когда - чётное. Расчёты поместим в таблицу (таблица 4):

Таблица 4.

значение	границы	подходящее
	4,8 – 5,8
	9,7 – 10,7
	14,5 – 15,5

Таким образом, минимальное число носков в ящике при условии, что - чётное есть 21.

Чему равна вероятность того, что два носка наугад вынутые из ящика, содержащего 6 чёрных и 3 красных носка, будут одного цвета?

Решение. Рассмотрим события и . и . Случайное событие . Вычислим условные вероятности , . По формуле полной вероятности получим:

.

Однажды, обнаружив себя на крыльце дома в разных носках, Сидоров вернулся обратно к комоду, чтобы исправить безобразие. Но пары к любимому красному носку не оказалось на месте. Маленькая и породистая Валькирия – 25 см в холке - как раз дожёвывала его на солнышке. Макар возмутился и, схватив оглоблю длиной , помчался за вредительницей, чтобы как следует проучить (или хотя бы попугать). Двор Сидоровых, к прискорбию, не был идеально ровным и приспособленным для спринта (собачий бег с препятствиями неплохо удавался на нём, а вот человеческий зачастую заканчивался плохо – синяками и растяжениями связок). Наш герой попал ногой в яму и упал на оглоблю, которая тут же разломилась на три части. Какова вероятность, что длина каждого куска будет не меньше ? Сидорову было жалко ногу, жалко носок и оглоблю, он тихо лежал посреди двора и думал о смысле жизни. Валькирия, поняв, что гроза миновала, молча подошла к нему и потихоньку прогрызла ему брюки на самом видном месте (не по злобности характера, а из любви к искусству). В тот день Сидоров на работу не пошёл, а остался дома, сославшись на сильнейшую мигрень.

Решение. Рассмотрим случайное событие . Область всех возможных исходов – это квадрат со сторонами и площадью (рисунок 15).

Область исходов, благоприятствующих событию A – заштрихованный четырёхугольник (рисунки 15, 16), задаваемый системой неравенств: равносильной системе .

Рисунок 15. Расположение точек разлома и на отрезке длиной .	Рисунок 16. Области, соответствующие Ω и A на плоскости .

Площадь получившегося четырёхугольника равна . Воспользовавшись формулой геометрической вероятности, получим

Если палка, с которой Сидоров гоняется за вредоносными животными, обитающими в его доме ломается случайным образом на две части, какова будет средняя длина меньшего куска? Каково среднее отношение длины короткого куска к длине длинного куска?

Решение. Случайность разлома палки означает равномерную распределённость точки деления. Таким образом, вероятность того, что точка разлома находится в левой или правой половине палки, одинакова. Если эта точка находится в левой половине, то левый кусок и является меньшим, если средняя длина равна половине от этой половины, что составляет четвёртую часть длины палки. Подобные рассуждения применимы и тогда, когда точка деления находится в правой половине. Следовательно, ответ: одна четверть длины палки.

Можно считать, что точка перелома лежит в правой половине стержня. Тогда является отношением длины короткого куска к длине длинного при условии, что сам стержень имеет единичную длину. Так как величина равномерно распределена на отрезке , то среднее отношение равно :

Палка ломается случайным образом на три части. Найти соотношение длины короткого, среднего и длинного кусков.

Решение. Предположим, что палка имеет единичную длину. Пусть и - точки перелома, причём лежит слева от . Согласно принципу симметрии каждый из трёх кусков (левый, средний и правый) имеют среднюю длину , но требуется найти среднюю длину наименьшего куска. Если точки выбираются наугад, то обозначим через положение первой, а через - положение второй точки. Тогда пара равномерно распределена на единичном квадрате, и вероятности событий вычисляются как площади соответствующих подмножеств квадрата.

Рисунок 17. Незаштрихованная область отвечает случаю	Рисунок 18. Область плоскости , соответствующая случаю, когда левый кусок палки наименьший.	Рисунок 19. Область, где отвечает наибольший кусок.

Для удобства предположим, что лежит левее , то есть . Тогда распределение сосредоточено на незаштрихованном треугольнике (рис.16). Вероятности пропорциональны площадям, но теперь вся площадь треугольника должна быть умножена на 2. Чтобы найти среднюю длину среднего куска заметим, что минимальная длина либо , либо , либо . Если наименьшее число из указанных, то: или . На рис.17. изображена область, задаваемая этими неравенствами. Видно, что изменяется от 0 до . Из планиметрии известно, что центр тяжести треугольника отстоит от основания на расстоянии, равном проведённой к нему высоты. Этим основанием в рассматриваемом случае является отрезок оси . Так как -я координата вершины равна , то среднее величины , или короткого отрезка, равно .

Рассмотрим случай, когда - наибольший кусок. Тогда или . На рис.18. изображён соответствующий четырёхугольник. Для того, чтобы найти координату его центра тяжести, разобьём его на два треугольника по пунктирной линии. Затем вычислим среднее этих координат для каждого треугольника и сложим их с весами, равными площадям треугольников. Среднее значение для правого треугольника равно , для левого треугольника . Площади треугольников пропорциональны и , так как у них одно и то же основание. Таким образом, среднее для величины составит . Так как среднее значение длины самого маленького куска равно , а самого длинного , то для среднего куска оно оказывается равным . Этот факт несложно проверить непосредственными подсчётами, рассматривая область, задаваемую неравенствами .

Дата добавления: 2015-08-05