Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Рассмотрим некоторые особенности разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций. Напомним: функция называется четной, если для любого значения имеет место равенство , и эта функция называется нечетной, если .

Отметим важное свойство рассматриваемых функций: интеграл по отрезку , симметричному относительно начала координат, от нечетной функции равен нулю, а от четной функции равен удвоенному значению интеграла по отрезку .

Пусть - четная периодическая функция с периодом , удовлетворяющая условиям Дирихле на отрезке . Тогда с учетом отмеченного выше свойства формулы (7.3) вычисления коэффициентов Фурье примут вид:

(7.5)

а ряд Фурье (7.1) для этой функции будет представлен рядом по косинусам:

. (7.6)

Если функция нечетна, то формулы (7.3) получим в виде:

, (7.7)

а ряд Фурье (7.1) для нечетной функции будет представлен рядом по синусам:

. (7.8)

В частности, если функция задана на отрезке , то на отрезок ее удобно продолжить двумя способами: либо четным образом (рис. 7.3), и тогда функция будет разложена в ряд Фурье (7.6) по косинусам; либо нечетным образом (рис. 7.4), и тогда для этой функции получим ряд Фурье (7.8) по синусам.

Пример 7.3. Функцию на отрезке разложить в ряд Фурье по синусам.

Р е ш е н и е. Разложение заданной функции в ряд по синусам означает нечетное ее продолжение на отрезок . Используя (7.7), получим: ;

,

так как . Тогда согласно (7.8) искомое разложение функции примет вид:

.

Задание 7.3. Функцию разложить в ряд Фурье на отрезке .

Ответ: .

Дата добавления: 2015-07-26