Применение признаков Даламбера и Коши

На практике для определения областей сходимости функциональных рядов наиболее часто применяются признаки Даламбера и Коши абсолютной сходимости числовых рядов.

Применительно к функциональному ряду по признаку Даламбера находится предел отношения модуля последующего члена ряда к модулю предыдущего, то есть

, (4.5)

а по признаку Коши находится предел

. (4.6)

Так как при ряд сходится, а при - расходится, то для определения области сходимости функционального ряда находятся такие значения , при которых имеет место неравенство . Поскольку признаки Даламбера и Коши не дают ответа о сходимости ряда при , то в точках , при которых , функциональный ряд следует исследовать на предмет его сходимости особо.

Пример 4.3. Найти область сходимости ряда

Р е ш е н и е. Применим признак Даламбера абсолютной сходимости ряда. Так как

, ,

то согласно (4.5) получим:

.

Отсюда следует, что исследуемый ряд сходится абсолютно при . При данный ряд расходится. Проверим поведение ряда при . Если , то исследуемый функциональный ряд обращается в знакочередующийся числовой ряд

,

который сходится по признаку Лейбница, так как

, .

При получается знакоположительный ряд

,

который расходится по признаку сравнения с расходящимся гармоническим рядом :

.

Таким образом, область сходимости исследуемого функционального ряда определяется неравенством , то есть .

Пример 4.4. Определить область сходимости ряда

Р е ш е н и е. Воспользуемся признаком Коши абсолютной сходимости ряда. Согласно (4.6) получим:

.

По признаку Коши ряд сходится абсолютно при , а это имеет место при . Если , то , то есть ряд расходится. При исходный функциональный ряд обращается в расходящийся числовой ряд

Таким образом, область сходимости исследуемого ряда определяется неравенством .

Задание 4.3. Найти области сходимости следующих рядов:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответы: а) ; б) ; в) ; г) .

Дата добавления: 2015-07-26