Его сходимости

СХОДИМОСТЬ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ РЯДОВ

И ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ

ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ

Знакочередующийся ряд и признак Лейбница

его сходимости

Рассмотрим еще один частный вид числового ряда и укажем удобный для практической реализации достаточный признак исследования на сходимость этого ряда.

Ряд, составленный из положительных и отрицательных членов, у которого соседние члены имеют противоположные знаки, называется знакочередующимся рядом.

Знакочередующийся ряд принято записывать в виде

, (3.1)

где ,

Для знакочередующегося ряда имеет место следующий достаточный признак сходимости (признак Лейбница): если в знакочередующемся ряде (3.1) абсолютные величины членов ряда убывают и общий член ряда стремится к нулю, то есть

, ,

то данный ряд сходится, при этом его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Заметим, что если , то согласно необходимому признаку сходимости знакочередующийся ряд (3.1) расходится; а если имеет место , но абсолютные величины членов ряда (3.1) монотонно не убывают, то признак Лейбница не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости знакочередующегося ряда.

Пример 3.1. Убедиться в сходимости ряда

Р е ш е н и е. Так как логарифмическая функция является возрастающей функций, то есть

,

то абсолютные величины членов исходного ряда убывают:

,

при этом

.

Следовательно, по признаку Лейбница исходный ряд сходится.

Задание 3.1. Исследовать на сходимость следующие ряды:

а) ; б) ; в) .

Ответы: а) ряд сходится; б) ряд сходится; в) рад расходится.

Дата добавления: 2015-07-26