Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Часть 1. Колебания

Читайте также:
  1. I I. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.
  2. I. Колебания цен сырья, непосредственное влияние их на норму прибыли
  3. I. Общая часть
  4. I. Теоретическая часть
  5. II. Адам Смит - постоянная часть капитала
  6. II. МАТРИЦА ЛИШЕНИЯ СЧАСТЬЯ В РАМКАХ СЕМЬИ
  7. II. Теоретическая часть

 

1. Гармонические колебания

 

1.1 Периодические процессы. Гармонические колебания

 

В природе мы часто наблюдаем различные периодические процессы: смена дня и ночи, фазы Луны, т.д. в быту и технике: колебяния маятника часов, вращение деталей машин – это всё периодические явления. В периодических процессах изменение какой-либо величины повторяется в том же самом виде через совершенно определенное время – период. Математическое определение периодической функции такое: если f (t) есть периодическая функция от t с периодом T, то при любом t функция f (t) =f (t+T), т.е. полностью повторяет себя.

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. В большинстве колебаний процессы не будут строго периодическими, они будут убывать. Периодические колебания представляют собой частный случай колебаний вообще. Обычно колебания возникают в системах, выведенных из состояния равновесия и в большинстве случаев возвращают систему в равновесие. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают несколько видов колебаний.

Свободными или собственными называются колеба-ния, происходящие в системе, предоставленной самой се-бе после того, как она выведена из состояния равновесия.

Вынужденными называют такие колебания, при которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются периодическим воздействием внешней силы, причем моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой системой.

При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит изменение какого-либо параметра системы.

Система, совершающая колебания вокруг положения равновесия называется осциллятором.

Колебания называются гармоническими, если состоя-ние системы изменяется по гармоническому закону (зако-ну синуса или косинуса).

Для примера возьмем точку, равномерно движущуюся по окружности радиуса A (рис 1.1).

 

 
 

Поскольку линейная скорость точки постоянна, то и угловая скорость w постоянна (u = wA). Следовательно, угол a зависит от времени (a = wt).

Проекция точки на ось X изменяется со временем по синусоидальному закону, что и позволяет записать нам уравнение колебаний точки, т.е. уравнение гармонических колебаний:

, (1.1)

 

где – амплитуда колебаний, то есть максимальное откло-нение параметра системы от положения равновесия;

– фаза колебаний;

– начальнаяфаза колебаний;

– циклическая частота колебаний, называемая соб-ственной частотой;

– время, прошедшее от начала колебаний.

Гармонические колебания относятся к так называемым периодическим процессам, то есть к таким процессам, при которых состояние системы полностью повторяется через строго одинаковые промежутки времени – период :

 

(1.2)

 

В случае с маятниками период колебаний можно определить как время, прошедшее между двумя максимальными отклонениями маятника в одну сторону. Единица измерения периода – секунда. Период определяет и другие характеристики колебания, такие как частота:

 

, (1.3)

 

и циклическая частота

 

. (1.4)

 

Единицей измерения частоты является Герц, цикличес-кой частоты – радиан в секунду. Обычно радиан (как ве-личина безразмерная) не указывается и поэтому за еди-ницу измерения циклической частоты принимается с-1. Тем не менее размерность единиц частоты и циклической частоты одна и та же: с-1. Период колебаний можно выра-зить через вышеуказанные характеристики колебаний:

На рис. 1.2 показан график гармонических колебаний, описываемых формулой (1.1).

Скорость движения материальной точки при колеба-ниях определяется производной от смещения точки (в данном случае – координаты x) по времени:

. (1.5)

 

Максимальное значение скорости:

 

(1.6)

 

называют амплитудой скорости.

 
 

 


Аналогично определяется ускорение колеблющейся точ-ки:

, (1.7)

 

где амплитуда ускорения:

 

. (1.8)

 

Из уравнений (1.5) и (1.7) видно, что скорость и ус-корение материальной точки также совершают гармони-ческие колебания с частотой . Для определения раз-ности фаз между смещением точки, ее скоростью и уско-рением представим выражения (1.5) и (1.7) в эквивален-тном виде:

, (1.9)

 

. (1.10)

 

Из сравнения полученных уравнений с (1.1) видно, что скорость опережает смещение по фазе на , а ускорение – на , то есть находится в противофазе со смещением .

 
 

 

 


Графики изменения скорости и ускорения со временем при гармонических колебаниях показаны на рис. 1.3.

На рис. 1.3 видно смещение фаз между скоростью и ускорением на , причем ускорение по фазе опережает скорость движения частицы.

Проанализируем подробней уравнение (1.7). Из срав-нения его с уравнением (1.1) видно, что

 

, (1.11)

или

. (1.12)

 

Перенося все слагаемые влево, получаем уравнение

, (1.13)

 

называемое дифференциальным уравнением свободных гар-монических колебаний. Свободные гармонические колеба-ния также называют просто гармоническими колебаниями, а уравнение (1.13) – дифференциальным уравнением гарм-онических колебаний (или дифференциальным уравнением гармонического осциллятора).

Зная зависимость между смещением и скоростью при гармонических колебаниях, можно найти остальные па-раметры колебаний, такие, как амплитуда A и начальная фаза .

Обозначим как x0 положение колеблющейся точки в момент времени t=0 (на рис. 1.4 выбрано значение x0=0). Величину скорости в момент времени t=0 обозначим как υ0. Значения x0 и υ0 называются начальными условиями:

 

(1.14)

 

(1.15)

 

Подставляя t=0 и x0 в уравнение (1.1) получим:

 

. (1.16)

 

Подставляя t=0 и в уравнение (1.5) получим:

 

. (1.17)

 

Тогда из (1.16) и (1.17) находим

 

, (1.18)

 

откуда получаем выражение для начальной фазы:

(1.19)

 

Для нахождения амплитуды из (1.16) и (1.17) найдем и :

, (1.20)

 

(1.21)

 

Складывая квадраты выражений (1.20) и (1.21), полу-чаем:

, (1.22)

 

откуда

 

(1.23)

 

Таким образом, зная начальные условия, можно найти значения амплитуды A и начальной фазы .

Механические гармонические колебания являются ре-зультатом двух свойств системы: действия возвращаю-щей силы и инерции.

Инерция противодействует изменению положения тела (или его скорости), возвращающая сила направлена в сто-рону, противоположную смещению тела.

Действие возвращающей силы рассмотрим на приме-рах механических осцилляторов.

 


Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 72 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Система премирования| Практическая работа №2.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.022 сек.)