Где x0 − действительное число

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.

Областью сходимости степенного ряда (24) является интервал (a-R;a+R), к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть присоединены точки a-R и a+R, где R= (если этот предел существует). В каждой точке интервала (a-R;a+R) ряд сходится абсолютно.Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.
Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле или на основе признака Даламбера:

Теорема 3.3 (теорема Абеля). Если степенной ряд (3.10) сходится в точке , то он сходится, и притом абсолютно, для любого , удовлетворяющего неравенству .

Как следствие этой теоремы устанавливается существование положительного числа , такого, что ряд (3.10) при сходится, а при расходится, т.е. окружность разделяет плоскость на две части: внутри окружности ряд сходится, вне — расходится. Радиус этой окружности — число — называется радиусом сходимости, круг — кругом сходимости ряда.

Если существует предел то радиус сходимости ряда равен

Рассмотрим ряд . По условию существует . Обозначим его через Тогда

При каждом значении х степенной ряд становится числовым рядом.

Поэтому по признаку Даламбера ряд сходится если . т.е. .

Следовательно, по теореме о сходимости знакопеременных рядов ряд также сходится при причем абсолютно. При ряд расходится, так как и, следовательно, общий член ряда a_nxⁿ не стремится к нулю при .

Таким образом, данный ряд сходится внутри интервала и расходится вне его. т.е. радиус сходимости равен

Можно доказать, что если , то ряд сходится на всей числовой прямой т.е. а если , то ряд сходится только при x=0.т.е., R=0.

) Функция является непрерывной функцией при |x| < R.

2) Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно.При этом производная степенного ряда выражается формулой

3)Степенной ряд можно также почленно интегрировать на отрезке, который расположен внутри интервала сходимости. Следовательно, если − R < b < x < R, то выполняется равенство

Если ряд интегрируется на отрезке [0; x], то справедлива формула:

4) Степенные ряды и имеют один и тот же радиус сходимости.

Отметим здесь без доказательства три важных свойства степенных рядов:

1. Сумма S(x) степенного ряда

S(x)=a₀+a₁(x-a)+a₂(x-a)²+…+a_n(x-a)ⁿ+… (24)

является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости (a-R;a+R).

2. Ряд

φ(x)=a₁+2a₂(x-a)+…+na_n(x-a)^n-1+…, (26)

полученный почленным дифференцированием ряда (24), является степенным рядом с тем же, что и ряд (24), интервалом сходимости (a-R;a+R). Сумма ряда (26) φ(x)=S'(x).

Замечание. Ряд (26) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна и так далее. Таким образом, сумма ряда (24) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости . Сумма ряда, полученного из ряда (24) n -кратным дифференцированием равна Область сходимости степенного ряда при дифференцируемости не меняется.

3. Пусть числа и принадлежат интервалу сходимости ряда (24). Тогда имеет место равенство

Дата добавления: 2015-07-24