Производная по направлению. Градиент

I Производная по направлению

В одномерном случае производная функции характеризует скорость изменения функции в данной точке в направлении оси . В двумерном случае частные производные функции характеризуют то же самое в направлении координатных осей.

Естественно поставить вопрос о скорости изменения функции в направлении произвольной оси .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и пусть ось задана углами и , которые она составляет с осями координат. Ось удобно задавать её ортом: . Будем считать, что ось проходит через точку и пусть точка – произвольная точка, лежащая на оси. Тогда , т.е. .

Определение 1. Пусть точка неограниченно приближается к точке вдоль оси . Предел вида

(1)

называется производной функции по направлению оси в точке и обозначается одним из символов

, , .

Теорема 1. Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные первого порядка и пусть ось образует с осями координат углы и . Тогда производная данной функции по направлению оси в точке существует и выражается формулой

. (2)

Доказательство. Пусть – текущая точка оси . Так как , а и в силу того, что , будем иметь:

То есть, координаты текущей точки есть функции параметра . Тогда:

,

и из (1) имеем:

. (3)

Последний предел есть производная функции в нуле. Производная же сложной функции существует, ибо имеет непрерывные производные, а её аргументы и – дифферен-цируемы, при этом:

.

Рассмотрим последнее равенство при и получим

.

Теперь формула (3) и доказывает теорему.

Замечание. В случае функции трёх переменных и оси , имеющей орт формула (2) приобретает вид

.

Пример. Вычислить производную функции в точке по направлению вектора , где .

Решение. Найдём единичный вектор, имеющий данное направление:

, , ,

откуда , . Далее, вычислим частные производные данной функции в точке : , , откуда , . Теперь по формуле (2) получим

.

II Градиент

Определение 2. Вектор, проекциями которого служат частные производные функции , называется градиентом функции

.

Для функции трёх переменных :

.

Связь градиента с производной по направлению даётся следующей теоремой.

Теорема 2. Производная функции по направлению есть проекция её градиента на это направление:

.

Доказательство. Проекция вектора на ось – это проекция вектора на орт оси. Проекцию же вектора на вектор можно найти, используя скалярное произведение:

.

Учитывая, что и , причём , получим:

.

Правая часть этого равенства в силу Теоремы 1 есть производная по направле-нию. Теорема доказана.

Следствие 1. Производная функции в точке по направлению оси достигает максимума, когда это направление совпадает с градиентом функции, причём

.

Таким образом, градиент функции в данной точке характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания функции в данной точке.

Следствие 2. Производная функции по направлению, перпендикулярному её градиенту, равна нулю.

III Линии и поверхности уровня

Очень часто, чтобы яснее представить себе график функции (т.е. некоторую поверхность) используют т.н. линии уровня.

Определение 2. Линией уровня функции называют линию (в области определения ), вдоль которой функция принимает постоянное значение, т.е. линию, уравнение которой имеет вид , где – константа.

Например, для функции , линии уровня – это два семейства ( и ) сопряжённых гипербол, а так же биссектрисы координатных углов ().

Для функции трёх переменных аналогично вводится понятие поверхности уровня, т.е. поверхности, определяемой уравнением

.

Следствие 3. Градиент функции в заданной точке перпендикулярен линии (поверхности) уровня функции, проходящей через эту точку, т.е. направлен по нормали к линии (поверхности) уровня.

Доказательство. (Для функции двух переменных). Рассмотрим уравнение линии уровня функции :

.

Это уравнение определяет неявную функцию и её производная имеет вид: . Уравнение нормали к графику в точке :

.

В нашем случае: . Это уравнение легко переписать в канонической форме:

.

Из которой следует, что направляющий вектор нормали . Это и означает, что градиент функции направлен по нормали к линии уровня этой функции.

Пример. Для функции линии уровня: – это семейство эллипсов

.

Проверим, что семейство парабол пересекает все эти эллипсы под прямым углом. Дифференцируем уравнение эллипсов по :

Отсюда угловой коэффициент касательной к эллипсу (в произвольной точке):

.

Для параболы тот же коэффициент имеет вид:

.

Пусть – точка пересечения какого-либо эллипса с некоторой параболой. Тогда и произведение угловых коэффициентов касательных в этой точке:

.

Отсюда следует, что касательные перпендикулярны, т.е. рассмотренные семейства взаимно-перпендикулярны. Градиент функции в точке направлен по касательной к той параболе из семейства , которая проходит через , причём в сторону вершины параболы, ибо начало координат – это абсолютный максимум данной функции.

Одна интерпретация полученного результата. Поверхность, определяемая рассмотренной функции, – это эллиптический параболоид с вершиной в точке , расположенный ниже плоскости . Потоки воды с такой поверхности стекают по траекториям, проекциями которых служат параболы семейства .

Дата добавления: 2015-07-24